Encontre a negação das seguintes expressões quantificadas e escreva em português:
(
é quadrado perfeito
é ímpar)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a negação da expressão quantificada e escrever essa negação em português.
Informação dada: a expressão é .
Pergunta explícita: qual é a negação lógica dessa fórmula e como escrevê-la em português?
Informação dada: a expressão é
Pergunta explícita: qual é a negação lógica dessa fórmula e como escrevê-la em português?
Passo 2
Regra importante sobre quantificadores (expliquei como funciona e por que): a negação de um quantificador existencial vira um quantificador universal com a propriedade negada. Em símbolos:
Intuição: a afirmação "existe
tal que
" tem como negação “para todo
,
é falso” — se não existe nenhum exemplo, então nenhum elemento satisfaz
.
Exemplo concreto e simples: a negação de “existe alguém feliz” é “todas as pessoas não são felizes” (ou seja, para cada pessoa, ela não é feliz).
Passo 3
Regra de De Morgan para conectivos lógicos (explicação e uso): a negação de uma conjunção transforma-se numa disjunção com as negações:
Intuição: a negação de “A e B” é “ou não A, ou não B” — basta que uma das partes falhe para que a conjunção seja falsa.
Exemplo rápido: a negação de “chove e faz frio” é “não chove ou não faz frio”.
Passo 4
Aplicando as regras passo a passo à expressão dada:
- Começo negando o quantificador existencial usando a regra do Passo 2:
onde escrevo
para "
é quadrado perfeito" e
para "
é ímpar".
- Agora aplico De Morgan dentro da negação da conjunção (Passo 3):
- Voltando às propriedades originais em palavras (substituindo
e ):
- Observação útil (forma equivalente):
é logicamente igual a . Assim outra forma equivalente é
Passo 5
Traduções naturais e equivalentes em português (escrevo as formas que podes usar na prova; são logicamente equivalentes):
- “Para todo
, não é quadrado perfeito ou não é ímpar.” - “Para todo
, se é quadrado perfeito então não é ímpar.” - Forma curta e muito usada: “Não existe nenhum
que seja ao mesmo tempo quadrado perfeito e ímpar.” (esta frase é a negação direta em linguagem natural; corresponde a ).
Vai dar certo — se fizer exatamente essa transformação na prova você acerta a negação.
Resposta
Para todo
,
não é quadrado perfeito ou
não é ímpar.