Encontre a negação das seguintes expressões quantificadas e escreva em português:
\exists x ( x é quadrado perfeito \wedge x é ímpar)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a negação da expressão quantificada e escrever essa negação em português.
Informação dada: a expressão é \exists x\\ (\;x\\ \text{é quadrado perfeito}\\ \wedge\\ x\\ \text{é ímpar}\;)ééí.
Pergunta explícita: qual é a negação lógica dessa fórmula e como escrevê-la em português?

Passo 2

Regra importante sobre quantificadores (expliquei como funciona e por que): a negação de um quantificador existencial vira um quantificador universal com a propriedade negada. Em símbolos:
\neg\big(\exists x\;P(x)\big)\equiv\forall x\;\neg P(x).
Intuição: a afirmação "existe x tal que P(x)" tem como negação “para todo x, P(x) é falso” — se não existe nenhum exemplo, então nenhum elemento satisfaz P.
Exemplo concreto e simples: a negação de “existe alguém feliz” é “todas as pessoas não são felizes” (ou seja, para cada pessoa, ela não é feliz).

Passo 3

Regra de De Morgan para conectivos lógicos (explicação e uso): a negação de uma conjunção transforma-se numa disjunção com as negações:
\neg\big(A\wedge B\big)\equiv\neg A\vee\neg B.
Intuição: a negação de “A e B” é “ou não A, ou não B” — basta que uma das partes falhe para que a conjunção seja falsa.
Exemplo rápido: a negação de “chove e faz frio” é “não chove ou não faz frio”.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo à expressão dada:
  1. Começo negando o quantificador existencial usando a regra do Passo 2:
\neg\big(\exists x\;(A(x)\wedge B(x))\big)\equiv\forall x\;\neg\big(A(x)\wedge B(x)\big),
onde escrevo A(x) para " x é quadrado perfeito" e B(x) para " x é ímpar".
  1. Agora aplico De Morgan dentro da negação da conjunção (Passo 3):
\forall x\;\neg\big(A(x)\wedge B(x)\big)\equiv\forall x\;\big(\neg A(x)\vee \neg B(x)\big).
  1. Voltando às propriedades originais em palavras (substituindo A(x) e B(x)):
\forall x\;\big(\neg(\,x\\ \text{é quadrado perfeito}\,)\\ \vee\\ \neg(\,x\\ \text{é ímpar}\,)\big).ééí
  1. Observação útil (forma equivalente): \neg A\vee\neg B é logicamente igual a A\Rightarrow \neg B. Assim outra forma equivalente é
\forall x\;\big(\,x\\ \text{é quadrado perfeito}\\ \Rightarrow\\ x\\ \text{não é ímpar}\,\big).éãéí

Passo 5

Traduções naturais e equivalentes em português (escrevo as formas que podes usar na prova; são logicamente equivalentes):
  • “Para todo x, x não é quadrado perfeito ou x não é ímpar.”
  • “Para todo x, se x é quadrado perfeito então x não é ímpar.”
  • Forma curta e muito usada: “Não existe nenhum x que seja ao mesmo tempo quadrado perfeito e ímpar.” (esta frase é a negação direta em linguagem natural; corresponde a \forall x\;\neg(A(x)\wedge B(x))).
Vai dar certo — se fizer exatamente essa transformação na prova você acerta a negação.

Resposta

Para todo x, x não é quadrado perfeito ou x não é ímpar.

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