Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & -3 & 9 & 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes (vou chamar a primeira de A e a segunda de B) e pede a operação elementar de linha que transforma A em B e também a operação inversa. As matrizes são:
Em B: as duas primeiras linhas são iguais às de A, e a terceira linha éR_3'=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}.
Portanto só precisamos agir sobre R_3 usando possivelmente R_1 ou R_2. Como R_2 tem um 1 na segunda coluna e R_3 tem -3 nessa coluna, é natural tentar eliminar o -3 da segunda coluna de R_3 somando um múltiplo de R_2.
Passo 4
Escolha do múltiplo e cálculo elementar (mostrando os passos):
Queremos cancelar a segunda entrada de R_3, que é -3. Como a segunda entrada de R_2 é 1, somar 3 vezes R_2 a R_3 remove esse -3: usar R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
O resultado coincide exatamente com a terceira linha de B. Portanto a operação desejada é uma única operação elementar do tipo (3):R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Passo 5
Verificação e operação inversa:
A operação que aplicamos é invertível e a inversa de R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 é simplesmenteR_3 \leftarrow R_3 - 3R_2,porque subtrair o mesmo múltiplo desfaz a soma.
Para confirmar, aplicando a inversa a B temos:R_3' - 3R_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}0 & 1 & -3 & -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -3 & 9 & 5\end{bmatrix},que é exatamente a R_3 original de A. Logo a inversa funciona.