Encontre a operação elementar de linha que transforma a primeira matriz na segunda e também no sentido inverso.
\left[ \begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & -3 & 9 & 5\end{array}\right],\left[ \begin{array}{cccc}1 & 2 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes (vou chamar a primeira de A e a segunda de B) e pede a operação elementar de linha que transforma A em B e também a operação inversa. As matrizes são:
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & -3 & 9 & 5 \end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}.
O que se pede explicitamente:
  • encontrar a operação elementar de linha que leva A em B;
  • encontrar a operação elementar inversa que leva B de volta a A.]

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre operações elementares de linha (para entender o tipo de operação):
  • Há três tipos de operações elementares de linha:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0;
    3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
  • A operação que transforma uma linha usando outra é a tipo (3); é a mais comum para eliminar ou ajustar entradas.

Passo 3

Observar quais linhas mudaram entre A e B.
  • Em A: as linhas são R_1=\begin{bmatrix}1 & 2 & -5 & 0\end{bmatrix},\qquad R_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & -3 & -2\end{bmatrix},\qquad R_3=\begin{bmatrix}0 & -3 & 9 & 5\end{bmatrix}.
  • Em B: as duas primeiras linhas são iguais às de A, e a terceira linha é R_3'=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}.
Portanto só precisamos agir sobre R_3 usando possivelmente R_1 ou R_2. Como R_2 tem um 1 na segunda coluna e R_3 tem -3 nessa coluna, é natural tentar eliminar o -3 da segunda coluna de R_3 somando um múltiplo de R_2.

Passo 4

Escolha do múltiplo e cálculo elementar (mostrando os passos):
  • Queremos cancelar a segunda entrada de R_3, que é -3. Como a segunda entrada de R_2 é 1, somar 3 vezes R_2 a R_3 remove esse -3: usar R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
  • Vamos calcular elemento a elemento: R_3 + 3R_2 =\begin{bmatrix}0 & -3 & 9 & 5\end{bmatrix} +3\begin{bmatrix}0 & 1 & -3 & -2\end{bmatrix}.Agora multiplicar R_2 por 3: 3R_2=\begin{bmatrix}0 & 3 & -9 & -6\end{bmatrix}.Somando componente a componente: \begin{bmatrix}0 & -3 & 9 & 5\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0 & 3 & -9 & -6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}.
  • O resultado coincide exatamente com a terceira linha de B. Portanto a operação desejada é uma única operação elementar do tipo (3): R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.

Passo 5

Verificação e operação inversa:
  • A operação que aplicamos é invertível e a inversa de R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2 é simplesmente R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2,porque subtrair o mesmo múltiplo desfaz a soma.
  • Para confirmar, aplicando a inversa a B temos: R_3' - 3R_2 = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}0 & 1 & -3 & -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & -3 & 9 & 5\end{bmatrix},que é exatamente a R_3 original de A. Logo a inversa funciona.

Resposta

R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2

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