Encontre a solução geral dos sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são as seguintes:
\left[\begin{array}{cccccc}1 & -3 & 0 & -1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz aumentada
\left[\begin{array}{cccccc} 1 & -3 & 0 & -1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
que corresponde a um sistema linear com cinco incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 e termos constantes na última coluna. Escrevendo as equações que essa matriz representa (pegando os coeficientes diretamente da matriz):
\begin{cases} x_1 - 3x_2 - x_4 = -2,\\[4pt] x_2 - 4x_5 = 1,\\[4pt] x_4 + 9x_5 = 4,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução geral desse sistema (ou seja, expressar todas as incógnitas em função de parâmetros livres, se houver).]

Passo 2

Observando a matriz em forma escalonada, identifiquemos as colunas-pivô (as primeiras entradas não nulas em cada linha escalonada) e as variáveis correspondentes:
  • A primeira linha tem pivô na coluna 1 \Rightarrow variável líder x_1.
  • A segunda linha tem pivô na coluna 2 \Rightarrow variável líder x_2.
  • A terceira linha tem pivô na coluna 4 \Rightarrow variável líder x_4.
    As colunas 3 e 5 não têm pivô, portanto x_3 e x_5 são variáveis livres (podemos lhes atribuir parâmetros). Vou chamar
x_3 = s,\qquad x_5 = t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Explicar: variáveis livres geram infinitas soluções; variáveis líderes serão determinadas a partir delas.

Passo 3

Resolver a terceira equação (linha 3) para x_4. A equação é
x_4 + 9x_5 = 4.
Substituindo x_5 = t obtemos
x_4 = 4 - 9t.
Aqui foi feita apenas isolação de x_4: subtraiu-se 9x_5 de ambos os lados.

Passo 4

Resolver a segunda equação (linha 2) para x_2. A equação é
x_2 - 4x_5 = 1.
Substituindo x_5 = t obtemos
x_2 = 1 + 4t.
Novamente isolou-se x_2 somando 4x_5 aos dois lados.

Passo 5

Resolver a primeira equação (linha 1) para x_1. A equação é
x_1 - 3x_2 - x_4 = -2.
Agora substituímos as expressões encontradas para x_2 e x_4:
x_1 - 3(1+4t) - (4-9t) = -2.
Fazendo as contas passo a passo:
x_1 - 3 - 12t - 4 + 9t = -2.
Agrupando termos constantes e termos em t:
x_1 - (3+4) + (-12t+9t) = -2
x_1 - 7 - 3t = -2.
Isolando x_1:
x_1 = -2 + 7 + 3t = 5 + 3t.

Passo 6

Reunindo tudo: com os parâmetros livres s,t\in\mathbb{R} (sendo s associado a x_3 e t a x_5), as incógnitas ficam
\begin{aligned} x_1 &= 5 + 3t,\\[4pt] x_2 &= 1 + 4t,\\[4pt] x_3 &= s,\\[4pt] x_4 &= 4 - 9t,\\[4pt] x_5 &= t. \end{aligned}
Podemos escrever em forma vetorial (útil em provas):
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\x_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 0\\\ -9\\\ 1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isso mostra claramente que há infinitas soluções formando um afinidade de dimensão 2 (dois parâmetros livres).]

Resposta

\,x_1 = 5 + 3t
\,x_2 = 1 + 4t
\,x_3 = s
\,x_4 = 4 - 9t
\,x_5 = t
s,t\in\mathbb{R}

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