Encontre
\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(5))

Passo 1

O enunciado pede para calcular \arctan\bigl(\tan(5)\bigr), onde o argumento 5 está em radianos. O conteúdo aqui é o comportamento da composição \arctan(\tan x) usando a periodicidade da tangente e a definição do valor principal da função arco-tangente.

Passo 2

Sabemos que a função tangente é periódica de período \pi, ou seja, para todo inteiro k vale
\tan(5)=\tan\bigl(5 - k\pi\bigr).
Logo, podemos escrever
\arctan\bigl(\tan(5)\bigr) =\arctan\bigl(\tan(5 - k\pi)\bigr).

Passo 3

Por definição, \arctan(y) retorna o valor no intervalo aberto \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Assim, precisamos escolher um inteiro k tal que
-\frac{\pi}{2} < 5 - k\pi < \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
-\frac{\pi}{2} < 5 - k\pi < \frac{\pi}{2}
dividimos em duas partes:
  1. 5 - k\pi > -\tfrac{\pi}{2} k\pi < 5 + \tfrac{\pi}{2} k < \frac{5 + \tfrac{\pi}{2}}{\pi}\approx2{,}09.
  2. 5 - k\pi < \tfrac{\pi}{2} k\pi > 5 - \tfrac{\pi}{2} k > \frac{5 - \tfrac{\pi}{2}}{\pi}\approx1{,}09.
O único inteiro k que satisfaz 1{,}09<k<2{,}09 é k=2. Portanto o valor reduzido é
5 - 2\pi,
que fica em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Concluímos então que a expressão da composição na faixa principal é
\arctan\bigl(\tan(5)\bigr)=5 - 2\pi.

Resposta

\displaystyle 5 - 2\pi

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