Encontre
\operatorname{tg}\left(\operatorname{arccos} \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a tangente de \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt5}{4}\bigr). Isso envolve usar identidades trigonométricas básicas e a ideia de construir um triângulo retângulo em que o cosseno é conhecido.

Passo 2

Seja \theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt5}{4}\bigr). Por definição de arco cosseno, temos
\cos\theta = \frac{\sqrt5}{4}.

Passo 3

Para achar \sin\theta, usamos a identidade pitagórica
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.
Logo,
\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \Bigl(\frac{\sqrt5}{4}\Bigr)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{16}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}.

Passo 4

A tangente é dada por
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Substituindo os valores encontrados,
\tan\theta = \frac{\frac{\sqrt{11}}{4}}{\frac{\sqrt5}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt5} = \sqrt{\frac{11}{5}}.

Resposta

\sqrt{\tfrac{11}{5}}

Exercícios relacionados