- Sabendo que o cosseno da soma de dois arcos
e
é dado pela expressão
. Responda os itens a seguir:
(a) Mostre que
(b) Usando a expressão do item anterior, juntamente com a relação fundamental trigonométrica, mostre que podemos escrever
(c) Encontre uma expressão para
em função de
.
(d) Encontre o valor de
e o valor de
.
(e) Se
e
, encontre o valor de
e
.
(f) Mostre que
.
(g) Encontre o valor de
.
(h) Encontre o valor de
.
(i) Usando as fórmulas de
e
, encontre uma expressão para
, em função de
.
(a) Mostre que
(d) Encontre o valor de
(e) Se
(f) Mostre que
(g) Encontre o valor de
(h) Encontre o valor de
(i) Usando as fórmulas de
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula do cosseno da soma,
e pede várias aplicações: (a) a fórmula do ângulo duplo, (b) outra forma dessa fórmula usando a identidade fundamental
, (c) o cosseno de
, (d) valores numéricos de
e
, (e) seno, cosseno e tangente de
dado
e
em
, (f) mostrar
, (g) somar
com
, (h) calcular
e (i) obter
em função de
.
Para resolver vamos usar as fórmulas de soma, as identidades trigonométricas básicas e definições de funções inversas.
Para resolver vamos usar as fórmulas de soma, as identidades trigonométricas básicas e definições de funções inversas.
Passo 2
Para (a), basta aplicar a fórmula de soma com
. Assim,
Passo 3
Para (b), partimos de
e usamos
:
Se em vez disso quisermos em função de
, usamos
:
Passo 4
Para (c), usamos
. Já conhecemos
e
. Então
Passo 5
Para (d),
-
,
ou seja
Passo 6
Para (e), em
temos
e
.
Então
Então
Passo 7
Para (f), use a soma com
:
Passo 8
Para (g),
Passo 9
Para (h), defina
, então
,
. Defina
, então
,
. Assim
Passo 10
Para (i), use
e divida numerador e denominador por
, obtendo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)