1. Sabendo que o cosseno da soma de dois arcos x e y é dado pela expressão
\cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)
. Responda os itens a seguir:
(a) Mostre que
\cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)
(b) Usando a expressão do item anterior, juntamente com a relação fundamental trigonométrica, mostre que podemos escrever
\cos (2 x)=1-2 \operatorname{sen}^{2}(x)
(c) Encontre uma expressão para \cos (3 x) em função de \cos (x).
(d) Encontre o valor de \cos \left(75^{\circ}\right) e o valor de \cos \left(120^{\circ}\right).
(e) Se \operatorname{sen}(x)=\frac{4}{5}, \cos (y)=\frac{\sqrt{5}}{5} e x, y \in 1^{\circ} Q, encontre o valor de \operatorname{sen}(x-y), \cos (x-y) e \operatorname{tg}(x-y).
(f) Mostre que \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}(x).
(g) Encontre o valor de \ln (\operatorname{sec} (\theta))+\ln (\cos (\theta)).
(h) Encontre o valor de \cos \left(\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right).
(i) Usando as fórmulas de \operatorname{sen}(2 x) e \cos (2 x), encontre uma expressão para \operatorname{tg}(2 x), em função de \operatorname{tg}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do cosseno da soma,
\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y),
e pede várias aplicações: (a) a fórmula do ângulo duplo, (b) outra forma dessa fórmula usando a identidade fundamental \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1, (c) o cosseno de 3x, (d) valores numéricos de \cos(75^\circ) e \cos(120^\circ), (e) seno, cosseno e tangente de x-y dado \operatorname{sen}(x) e \cos(y) em Q1, (f) mostrar \cos(x+\pi/2)=-\operatorname{sen}(x), (g) somar \ln(\operatorname{sec}(\theta)) com \ln(\cos(\theta)), (h) calcular \cos\bigl(\operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcsen}(1/\sqrt3)\bigr) e (i) obter \tan(2x) em função de \tan(x).
Para resolver vamos usar as fórmulas de soma, as identidades trigonométricas básicas e definições de funções inversas.

Passo 2

Para (a), basta aplicar a fórmula de soma com y=x. Assim,
\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x).

Passo 3

Para (b), partimos de \cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x) e usamos \operatorname{sen}^2(x)=1-\cos^2(x):
\cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))=2\cos^2(x)-1.
Se em vez disso quisermos em função de \operatorname{sen}(x), usamos \cos^2(x)=1-\operatorname{sen}^2(x):
\cos(2x)= (1-\operatorname{sen}^2(x))-\operatorname{sen}^2(x)=1-2\operatorname{sen}^2(x).

Passo 4

Para (c), usamos \cos(3x)=\cos(2x+x)=\cos(2x)\cos(x)-\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(x). Já conhecemos \cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x) e \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x). Então
\cos(3x)=(\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x))\cos(x)-2\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,\operatorname{sen}(x) =\cos^3(x)-\cos(x)\operatorname{sen}^2(x)-2\operatorname{sen}^2(x)\cos(x) =4\cos^3(x)-3\cos(x).

Passo 5

Para (d),
  • \cos(75^\circ)=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sen45^\circ\sen30^\circ,
    ou seja
\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.
  • \cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\tfrac12.

Passo 6

Para (e), em Q1 temos \operatorname{sen}(x)=4/5\Rightarrow\cos(x)=3/5 e \cos(y)=\sqrt5/5\Rightarrow\operatorname{sen}(y)=\sqrt{1-(\sqrt5/5)^2}=2\sqrt5/5.
Então
\operatorname{sen}(x-y)=\operatorname{sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\operatorname{sen}(y) =\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt5}{5}-\frac{3}{5}\cdot\frac{2\sqrt5}{5} =-\frac{2\sqrt5}{25},
\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y) =\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt5}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2\sqrt5}{5} =\frac{11\sqrt5}{25},
\tan(x-y)=\frac{\operatorname{sen}(x-y)}{\cos(x-y)}=-\frac{2\sqrt5/25}{11\sqrt5/25}=-\frac{2}{11}.

Passo 7

Para (f), use a soma com \pi/2:
\cos\Bigl(x+\frac{\pi}{2}\Bigr) =\cos(x)\cos\frac{\pi}{2}-\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} =0-\operatorname{sen}(x)\cdot1=-\operatorname{sen}(x).

Passo 8

Para (g),
\ln(\operatorname{sec}\theta)+\ln(\cos\theta) =\ln\bigl(\operatorname{sec}\theta\cdot\cos\theta\bigr) =\ln(1)=0.

Passo 9

Para (h), defina A=\operatorname{arctg}(x), então \cos A=1/\sqrt{1+x^2}, \operatorname{sen} A=x/\sqrt{1+x^2}. Defina B=\operatorname{arcsen}(1/\sqrt3), então \operatorname{sen} B=1/\sqrt3, \cos B=\sqrt{1-1/3}=\sqrt{2/3}. Assim
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} -\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{2}-x}{\sqrt{3}\,\sqrt{1+x^2}}.

Passo 10

Para (i), use
\tan(2x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\cos(2x)} =\frac{2\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x)}
e divida numerador e denominador por \cos^2(x), obtendo
\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}.

Resposta

(a) \cos(2x)=\cos^2(x)-\operatorname{sen}^2(x)
(b) \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2(x)
(c) \cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)
(d) \cos(75^\circ)=\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\quad \cos(120^\circ)=-\tfrac12
(e) \operatorname{sen}(x-y)=-\tfrac{2\sqrt5}{25},\;\cos(x-y)=\tfrac{11\sqrt5}{25},\;\tan(x-y)=-\tfrac{2}{11}
(f) \cos\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\operatorname{sen}(x)
(g) 0
(h) \displaystyle \frac{\sqrt{2}-x}{\sqrt{3}\,\sqrt{1+x^2}}
(i) \tan(2x)=\tfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}

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