Encontre o
e o
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o
e o
da campo vetor dado. As informações fornecidas são:
Vou extrair os componentes (úteis para os cálculos):
As perguntas concretas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Definição e fórmula para
(explicação didática).
A divergência de um campo vetorial em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas variáveis:
A divergência de um campo vetorial
O que isto significa, na prática: para cada componente
você deriva só em relação à variável associada (por exemplo
em relação a
), tratando as outras variáveis como constantes. A operação mede se o campo “está saindo” ou “entrando” localmente em cada ponto.
Passo 3
Cálculo passo a passo da divergência. Vou calcular cada derivada parcial usando regras básicas (regra do poder:
; se uma expressão não depende de uma variável, sua derivada em relação a essa variável é zero).
-
, porque não depende de (tratamos como constantes). -
, porque não depende de . -
, porque não depende de .
Somando:
Passo 4
Definição e fórmula para
(explicação didática).
O rotacional (ou curl) de em coordenadas cartesianas é dado por
O rotacional (ou curl) de
Interpretação prática: cada componente é uma diferença entre duas derivadas parciais; pense nisso como “rotação local” do campo em torno dos eixos. Para calcular, precisamos das derivadas parciais indicadas.
Passo 5
Vou calcular todas as derivadas parciais necessárias, explicando as regras usadas (produto de constantes e potências):
-
(aqui é tratado como constante). -
(aqui é constante). -
-
(derivada de é 1, tratado como constante). -
-
Checagem rápida: em cada derivada, apliquei a regra do poder e tratei as outras variáveis como constantes — quando uma expressão não depende da variável, a derivada é zero (como visto na divergência).
Passo 6
Agora monto as componentes do rotacional usando as derivadas calculadas:
- Componente em
:
- Componente em
:
(Se quiser, fatoramos
:
.)
- Componente em
:
Portanto
Passo 7
Pequena observação pedagógica e incentivo: notou-se que
— isto costuma indicar que o campo é incompressível (não tem “fonte” local). Já o
ficou com componentes não-nulas, então o campo possui rotação local. Se quiser, pratique com um exemplo simples: para
tem-se
e
. Vai te ajudar a fixar as fórmulas.