Encontre o operatorname{div} \vec{F} e o operatorname{rot} \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=7 y^{3} z^{2} \vec{i}-8 x^{2} z^{5} \vec{j}-3 x y^{4} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o \operatorname{div}\vec{F} e o \operatorname{rot}\vec{F} da campo vetor dado. As informações fornecidas são:
\vec{F}(x,y,z)=7y^{3}z^{2}\,\vec{i}-8x^{2}z^{5}\,\vec{j}-3xy^{4}\,\vec{k}.
Vou extrair os componentes (úteis para os cálculos):
F_{1}(x,y,z)=7y^{3}z^{2},\qquad F_{2}(x,y,z)=-8x^{2}z^{5},\qquad F_{3}(x,y,z)=-3xy^{4}.
As perguntas concretas são:
  1. Calcular \operatorname{div}\vec{F}.
  2. Calcular \operatorname{rot}\vec{F}.

Passo 2

Definição e fórmula para \operatorname{div}\vec{F} (explicação didática).
A divergência de um campo vetorial \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) em coordenadas cartesianas é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às respetivas variáveis:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
O que isto significa, na prática: para cada componente F_{i} você deriva só em relação à variável associada (por exemplo F_{1} em relação a x), tratando as outras variáveis como constantes. A operação mede se o campo “está saindo” ou “entrando” localmente em cada ponto.

Passo 3

Cálculo passo a passo da divergência. Vou calcular cada derivada parcial usando regras básicas (regra do poder: \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}; se uma expressão não depende de uma variável, sua derivada em relação a essa variável é zero).
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(7y^{3}z^{2}\bigr)=0, porque 7y^{3}z^{2} não depende de x (tratamos y,z como constantes).
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-8x^{2}z^{5}\bigr)=0, porque -8x^{2}z^{5} não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3xy^{4}\bigr)=0, porque -3xy^{4} não depende de z.
Somando:
\operatorname{div}\vec{F}=0+0+0=0.

Passo 4

Definição e fórmula para \operatorname{rot}\vec{F} (explicação didática).
O rotacional (ou curl) de \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) em coordenadas cartesianas é dado por
\operatorname{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}= \biggl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\biggr)\vec{i} +\biggl(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\biggr)\vec{j} +\biggl(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\biggr)\vec{k}.
Interpretação prática: cada componente é uma diferença entre duas derivadas parciais; pense nisso como “rotação local” do campo em torno dos eixos. Para calcular, precisamos das derivadas parciais indicadas.

Passo 5

Vou calcular todas as derivadas parciais necessárias, explicando as regras usadas (produto de constantes e potências):
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3xy^{4}\bigr)=-3x\cdot\frac{d}{dy}(y^{4})=-3x\cdot 4y^{3}=-12xy^{3}. (aqui x é tratado como constante).
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-8x^{2}z^{5}\bigr)=-8x^{2}\cdot\frac{d}{dz}(z^{5})=-8x^{2}\cdot 5z^{4}=-40x^{2}z^{4}. (aqui x é constante).
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(7y^{3}z^{2}\bigr)=7y^{3}\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})=7y^{3}\cdot 2z=14y^{3}z.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3xy^{4}\bigr)=-3y^{4}. (derivada de x é 1, y tratado como constante).
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-8x^{2}z^{5}\bigr)=-8z^{5}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=-8z^{5}\cdot 2x=-16xz^{5}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(7y^{3}z^{2}\bigr)=7z^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y^{3})=7z^{2}\cdot 3y^{2}=21y^{2}z^{2}.
Checagem rápida: em cada derivada, apliquei a regra do poder e tratei as outras variáveis como constantes — quando uma expressão não depende da variável, a derivada é zero (como visto na divergência).

Passo 6

Agora monto as componentes do rotacional usando as derivadas calculadas:
  • Componente em \vec{i}:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} = (-12xy^{3}) - (-40x^{2}z^{4}) = -12xy^{3}+40x^{2}z^{4}.
  • Componente em \vec{j}:
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} = 14y^{3}z - (-3y^{4}) = 14y^{3}z+3y^{4}.
(Se quiser, fatoramos y^{3}: y^{3}(14z+3y).)
  • Componente em \vec{k}:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} = (-16xz^{5}) - (21y^{2}z^{2}) = -16xz^{5}-21y^{2}z^{2}.
Portanto
\operatorname{rot}\vec{F}=\bigl(-12xy^{3}+40x^{2}z^{4}\bigr)\vec{i}+\bigl(14y^{3}z+3y^{4}\bigr)\vec{j}+\bigl(-16xz^{5}-21y^{2}z^{2}\bigr)\vec{k}.

Passo 7

Pequena observação pedagógica e incentivo: notou-se que \operatorname{div}\vec{F}=0 — isto costuma indicar que o campo é incompressível (não tem “fonte” local). Já o \operatorname{rot}\vec{F} ficou com componentes não-nulas, então o campo possui rotação local. Se quiser, pratique com um exemplo simples: para \vec{G}=(x,y,z) tem-se \operatorname{div}\vec{G}=1+1+1=3 e \operatorname{rot}\vec{G}=\vec{0}. Vai te ajudar a fixar as fórmulas.

Resposta

\operatorname{div}\vec{F}=0
\operatorname{rot}\vec{F}=(-12xy^{3}+40x^{2}z^{4})\vec{i}+(14y^{3}z+3y^{4})\vec{j}+(-16xz^{5}-21y^{2}z^{2})\vec{k}

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