Ache ∇ × Fe ∇ · F.
F(x, y, z)=3 x y z^{2} i+y^{2} \operatorname{sen} z j+x e^{2} k
Passo 1
O enunciado pede para calcular \nabla\times F e \nabla\cdot F para o campo vetorial
F(x,y,z)=3 x y z^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\sin z\,\mathbf{j}+x e^{2}\,\mathbf{k}.
Anotei as componentes do campo:
F_1(x,y,z)=3 x y z^{2},\qquad F_2(x,y,z)=y^{2}\sin z,\qquad F_3(x,y,z)=x e^{2}.
Passo 2
Definição e ideia para \nabla\cdot F (divergência): a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis correspondentes,
explicação: x e^{2} não depende de z, é constante em relação a z.
Passo 4
Somando as parcelas obtemos a divergência:
\nabla\cdot F=3 y z^{2}+2y\sin z.
Podemos fatorar y se quisermos:
\nabla\cdot F=y\big(3 z^{2}+2\sin z\big).
Passo 5
Definição e ideia para \nabla\times F (rotacional): o rotacional é o vetor cujas componentes são combinações das derivadas parciais das componentes de F. Usualmente escreve-se pelo determinante simbólico