Ache ∇ × Fe ∇ · F.
F(x, y, z)=3 x y z^{2} i+y^{2} \operatorname{sen} z j+x e^{2} k

Passo 1

O enunciado pede para calcular \nabla\times F e \nabla\cdot F para o campo vetorial
F(x,y,z)=3 x y z^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}\sin z\,\mathbf{j}+x e^{2}\,\mathbf{k}.
Anotei as componentes do campo:
F_1(x,y,z)=3 x y z^{2},\qquad F_2(x,y,z)=y^{2}\sin z,\qquad F_3(x,y,z)=x e^{2}.

Passo 2

Definição e ideia para \nabla\cdot F (divergência): a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes em relação às suas variáveis correspondentes,
\nabla\cdot F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Aqui \partial_x significa "derivar em relação a x", \partial_y em relação a y e \partial_z em relação a z.

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial para a divergência:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3 x y z^{2}\big)=3 y z^{2},
explicação: y e z são tratados como constantes ao derivar em x, e \frac{d}{dx}(3x)=3.
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\sin z\big)=2y\sin z,
explicação: \sin z é constante quando derivamos em y.
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x e^{2}\big)=0,
explicação: x e^{2} não depende de z, é constante em relação a z.

Passo 4

Somando as parcelas obtemos a divergência:
\nabla\cdot F=3 y z^{2}+2y\sin z.
Podemos fatorar y se quisermos:
\nabla\cdot F=y\big(3 z^{2}+2\sin z\big).

Passo 5

Definição e ideia para \nabla\times F (rotacional): o rotacional é o vetor cujas componentes são combinações das derivadas parciais das componentes de F. Usualmente escreve-se pelo determinante simbólico
\nabla\times F= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix},
o que dá as componentes
(\nabla\times F)_x=\partial_y F_3-\partial_z F_2,
(\nabla\times F)_y=\partial_z F_1-\partial_x F_3,
(\nabla\times F)_z=\partial_x F_2-\partial_y F_1.

Passo 6

Calculemos a componente x do rotacional:
(\nabla\times F)_x=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
Aqui \partial_y F_3=\partial_y(x e^{2})=0 (não depende de y), e
\partial_z F_2=\frac{\partial}{\partial z}\big(y^{2}\sin z\big)=y^{2}\cos z.
Logo
(\nabla\times F)_x=0-y^{2}\cos z=-y^{2}\cos z.

Passo 7

Calculemos a componente y do rotacional:
(\nabla\times F)_y=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}.
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(3 x y z^{2}\big)=3 x y\cdot 2z=6 x y z,
pois ao derivar z^{2} em z vem 2z. E
\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{2}\big)=e^{2}.
Portanto
(\nabla\times F)_y=6 x y z-e^{2}.

Passo 8

Calculemos a componente z do rotacional:
(\nabla\times F)_z=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\sin z\big)=0,
pois não depende de x. E
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x y z^{2}\big)=3 x z^{2}.
Logo
(\nabla\times F)_z=0-3 x z^{2}=-3 x z^{2}.

Passo 9

Montando o vetor rotacional com as três componentes calculadas:
\nabla\times F=-y^{2}\cos z\,\mathbf{i}+\big(6 x y z-e^{2}\big)\,\mathbf{j}-3 x z^{2}\,\mathbf{k}.
E já tínhamos a divergência
\nabla\cdot F=3 y z^{2}+2y\sin z.

Resposta

\nabla\times F=-y^{2}\cos z\,\mathbf{i}+\big(6 x y z-e^{2}\big)\,\mathbf{j}-3 x z^{2}\,\mathbf{k}\n
\nabla\cdot F=3 y z^{2}+2y\sin z

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