Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
\int_{\text {Vértices }} x^{2} y^{2} d x+4 x y^{3} d y, Cé é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx + 4xy^{3}\,dy
onde C é o polígono com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e (1,1) com orientação positiva.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função que aparece na integral de linha tem P(x,y)=x^{2}y^{2} associado a dx e Q(x,y)=4xy^{3} associado a dy.
  • A curva C é fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • Os vértices do contorno (na ordem indicada) são (0,0)\to(4,0)\to(3,2)\to(1,1)\to(0,0). (Vou interpretar C como esse polígono fechado.)

Passo 2

Apresentação e uso do Teorema de Green (mini-aula):
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada simples, suave por partes, e sua região interior R,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y) e Q(x,y) são funções com derivadas parciais contínuas em R. A ideia é trocar a integral de contorno por uma integral dupla sobre a região interior, o que geralmente simplifica os cálculos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando do Teorema de Green:
P(x,y)=x^{2}y^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2x^{2}y.
Q(x,y)=4xy^{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=4y^{3}.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=4y^{3}-2x^{2}y.
Podemos fatorar y se quisermos:
4y^{3}-2x^{2}y = 2y(2y^{2}-x^{2}).

Passo 4

Descrição da região R limitada por C e equações das arestas (mini-aula sobre coordenadas das retas):
As arestas do polígono são os segmentos:
  • E_1: (0,0)\to(4,0) (reta y=0),
  • E_2: (4,0)\to(3,2),
  • E_3: (3,2)\to(1,1),
  • E_4: (1,1)\to(0,0).
Vamos escrever as equações das retas relevantes em forma x como função de y (porque vamos integrar em x primeiro):
  • E_4 (entre (0,0) e (1,1)): é a reta x=y (pois passa pela origem e por (1,1)).
  • E_2 (entre (4,0) e (3,2)): a inclinação é \displaystyle m=\frac{2-0}{3-4}=-2. Em forma x em função de y: da equação y=-2x+8 obtemos
x = 4 - \frac{y}{2}.
  • E_3 (entre (3,2) e (1,1)): a inclinação é \displaystyle m=\frac{2-1}{3-1}=\tfrac{1}{2}. Da equação y-1=\tfrac{1}{2}(x-1) temos
x = 2y - 1.

Passo 5

Determinar como variar y e quais são as curvas esquerda/direita para cada faixa de y (escolha do método de varredura horizontal):
  • A coordenada y do polígono varia de y_{\min}=0 até y_{\max}=2.
  • Observe que a aresta E_4 vai até y=1 (pois (1,1) tem y=1). A aresta E_3 cobre y entre 1 e 2. A aresta E_2 cobre y entre 0 e 2.
    Portanto dividimos a integração em duas faixas de y:
  1. Para 0\le y\le 1: a fronteira esquerda é E_4 com x_{\text{left}}=y e a fronteira direita é E_2 com x_{\text{right}}=4-\tfrac{y}{2}.
  2. Para 1\le y\le 2: a fronteira esquerda é E_3 com x_{\text{left}}=2y-1 e a fronteira direita continua sendo E_2 com x_{\text{right}}=4-\tfrac{y}{2}.
(Sinta-se à vontade para visualizar: para y pequeno a secção horizontal corta o lado que vai da origem até (1,1) à esquerda e o lado que vai de (4,0) a (3,2) à direita; para y>1 a aresta esquerda passa a ser a que liga (1,1) a (3,2).)

Passo 6

Montar a integral dupla usando Green:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \bigl(4y^{3}-2x^{2}y\bigr)\,dA.
Com a partição em y temos
\iint_{R}(4y^{3}-2x^{2}y)\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y}^{\,4-\tfrac{y}{2}}\bigl(4y^{3}-2x^{2}y\bigr)\,dx\,dy + \int_{y=1}^{2}\!\int_{x=2y-1}^{\,4-\tfrac{y}{2}}\bigl(4y^{3}-2x^{2}y\bigr)\,dx\,dy.

Passo 7

Calcular a primitiva em x (mini-aula sobre integrar em x um polinômio em x):
Para integrar em x:
\int \bigl(4y^{3}-2x^{2}y\bigr)\,dx = 4y^{3}x - \frac{2}{3}y\,x^{3}
porque \int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3} e y trata-se como constante ao integrar em x.

Passo 8

Avaliar a primeira integral ( 0\le y\le 1) usando a=y e b=4-\tfrac{y}{2}:
Aplicando a primitiva,
I_{1}(y)=\Bigl[4y^{3}x - \frac{2}{3}y x^{3}\Bigr]_{x=y}^{x=4-\tfrac{y}{2}}.
Fazendo as contas (expansões e simplificações) obtemos, após organizar termos,
I_{1}(y) = -\frac{128}{3}y + 16y^{2} + 14y^{3} - \frac{21}{4}y^{4}.
Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} I_{1}(y)\,dy = \int_{0}^{1}\Bigl(-\tfrac{128}{3}y + 16y^{2} + 14y^{3} - \tfrac{21}{4}y^{4}\Bigr)\,dy.
Calculando termo a termo:
\int_{0}^{1} -\tfrac{128}{3}y\,dy = -\tfrac{64}{3},\quad \int_{0}^{1} 16y^{2}\,dy = \tfrac{16}{3},
\int_{0}^{1} 14y^{3}\,dy = \tfrac{14}{4}=\tfrac{7}{2},\quad \int_{0}^{1} -\tfrac{21}{4}y^{4}\,dy = -\tfrac{21}{20}.
Somando esses valores:
\int_{0}^{1} I_{1}(y)\,dy = -\tfrac{271}{20}.

Passo 9

Avaliar a segunda integral ( 1\le y\le 2) usando a=2y-1 e b=4-\tfrac{y}{2}:
Novamente usando a primitiva em x,
I_{2}(y)=\Bigl[4y^{3}x - \frac{2}{3}y x^{3}\Bigr]_{x=2y-1}^{x=4-\tfrac{y}{2}},
e, após expandir e simplificar, obtemos
I_{2}(y) = -\frac{130}{3}y + 20y^{2} + 10y^{3} - \frac{55}{12}y^{4}.
Integrando de 1 a 2 (fazendo a primitiva em y explicitamente):
uma primitiva é
F(y) = -\frac{65}{3}y^{2} + \frac{20}{3}y^{3} + \frac{5}{2}y^{4} - \frac{11}{12}y^{5},
e avaliando entre 1 e 2
\int_{1}^{2} I_{2}(y)\,dy = -\frac{37}{4}.

Passo 10

Somar as duas contribuições para obter a integral total:
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx + 4xy^{3}\,dy = \int_{0}^{1}I_{1}(y)\,dy + \int_{1}^{2}I_{2}(y)\,dy = -\frac{271}{20} + \Bigl(-\frac{37}{4}\Bigr).
Colocando em denominador comum 20:
-\frac{271}{20} - \frac{185}{20} = -\frac{456}{20} = -\frac{114}{5}.

Resposta

-\dfrac{114}{5}

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