Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0), (3,2) e (1,1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o polígono com vértices em
,
,
e
com orientação positiva.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A função que aparece na integral de linha tem
associado a e associado a . - A curva
é fechada e orientada positivamente (no sentido anti-horário). - Os vértices do contorno (na ordem indicada) são
. (Vou interpretar como esse polígono fechado.)
Passo 2
Apresentação e uso do Teorema de Green (mini-aula):
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada simples, suave por partes, e sua região interior ,
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada simples, suave por partes, e sua região interior
Aqui
e
são funções com derivadas parciais contínuas em
. A ideia é trocar a integral de contorno por uma integral dupla sobre a região interior, o que geralmente simplifica os cálculos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando do Teorema de Green:
Logo o integrando é
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 4
Descrição da região
limitada por
e equações das arestas (mini-aula sobre coordenadas das retas):
As arestas do polígono são os segmentos:
As arestas do polígono são os segmentos:
-
: (reta ), -
: , -
: , -
: .
Vamos escrever as equações das retas relevantes em forma
como função de
(porque vamos integrar em
primeiro):
-
(entre e ): é a reta (pois passa pela origem e por ). -
(entre e ): a inclinação é . Em forma em função de : da equação obtemos
-
(entre e ): a inclinação é . Da equação temos
Passo 5
Determinar como variar
e quais são as curvas esquerda/direita para cada faixa de
(escolha do método de varredura horizontal):
- A coordenada
do polígono varia de até . - Observe que a aresta
vai até (pois tem ). A aresta cobre entre e . A aresta cobre entre e .
Portanto dividimos a integração em duas faixas de:
- Para
: a fronteira esquerda é com e a fronteira direita é com . - Para
: a fronteira esquerda é com e a fronteira direita continua sendo com .
(Sinta-se à vontade para visualizar: para
pequeno a secção horizontal corta o lado que vai da origem até
à esquerda e o lado que vai de
a
à direita; para
a aresta esquerda passa a ser a que liga
a
.)
Passo 6
Montar a integral dupla usando Green:
Com a partição em
temos
Passo 7
Calcular a primitiva em
(mini-aula sobre integrar em
um polinômio em
):
Para integrar em :
Para integrar em
porque
e
trata-se como constante ao integrar em
.
Passo 8
Avaliar a primeira integral (
) usando
e
:
Aplicando a primitiva,
Aplicando a primitiva,
Fazendo as contas (expansões e simplificações) obtemos, após organizar termos,
Agora integramos de
a
:
Calculando termo a termo:
Somando esses valores:
Passo 9
Avaliar a segunda integral (
) usando
e
:
Novamente usando a primitiva em ,
Novamente usando a primitiva em
e, após expandir e simplificar, obtemos
Integrando de
a
(fazendo a primitiva em
explicitamente):
uma primitiva é
uma primitiva é
e avaliando entre
e
dá
Passo 10
Somar as duas contribuições para obter a integral total:
Colocando em denominador comum
: