Encontre o par de polos do sistema de segunda ordem com as seguintes características:
Tempo de acomodação =7[\mathrm{~s}], tempo de pico =3[\mathrm{~s}]

Passo 1

O enunciado pede os polos de um sistema de segunda ordem que satisfaça
tempo de acomodação T_s = 7 s (critério 2 %) e tempo de pico T_p = 3 s.
Para isso vamos usar as fórmulas de desempenho clássicas em função de \zeta e \omega_n.

Passo 2

Pela definição de tempo de acomodação (2 %),
T_s \approx \frac{4}{\zeta\,\omega_n}
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\zeta\,\omega_n = \frac{4}{T_s} = \frac{4}{7}.

Passo 3

Pela definição de tempo de pico,
T_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
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\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = \frac{\pi}{T_p} = \frac{\pi}{3}.

Passo 4

Somando os quadrados das duas expressões obtemos
\omega_n^2 = (\zeta\,\omega_n)^2 + (\omega_n\sqrt{1-\zeta^2})^2 = \Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^2
\omega_n = \sqrt{\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^2} \approx 1,19.
Em seguida
\zeta = \frac{\frac{4}{7}}{\omega_n} \approx 0,48.

Passo 5

Os polos conjugados do sistema são
s_{1,2} = -\zeta\,\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\frac{4}{7}\;\pm\;j\,\frac{\pi}{3} \;\approx\;-0,57\;\pm\;j\,1,05.

Resposta

s_{1,2} = -\dfrac{4}{7}\pm j\,\dfrac{\pi}{3}\approx -0,57\pm j\,1,05

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