Um acionador de disco magnético requer um motor para posicionar uma cabeça de leitura/gravação sobre trilhas de dados em um disco giratório. O motor e a cabeça podem ser representados pela função de transferência
G(s)=\frac{10}{s(0,001 s+1)}
O controlador toma a diferença entre as posições real e desejada e gera um erro. Este erro é multiplicado por um amplificador de ganho K e realimentado ao sistema.
(a) Qual é o erro de posição em regime permanente para uma mudança em degrau na entrada desejada?
(b) Calcule o valor de K necessário para que se tenha um erro em regime permanente de 0,1[\mathrm{~mm}] para uma entrada em rampa de 10[\mathrm{~cm} / \mathrm{s}].

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de malha fechada com função de transferência do processo
G(s)=\frac{10}{s\,(0{,}001\,s+1)}
e um ganho proporcional K em realimentação unitária. Precisamos calcular o erro em regime permanente para (a) entrada degrau e (b) entrada rampa de inclinação 10,[cm/s], usando constantes de erro estático e o Teorema do Valor Final.

Passo 2

Para uma entrada degrau de amplitude unitária temos R(s)=1/s e o erro em malha fechada
E(s)=\frac{R(s)}{1+K\,G(s)}.
Aplicando o Teorema do Valor Final:
e_{\mathrm{ss}}=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to0}s\,E(s) =\lim_{s\to0}\frac{s\,(1/s)}{1+K\,G(s)} =\frac{1}{1+K\,G(0)}.
Como
G(0)=\frac{10}{0\cdot(0{,}001\cdot0+1)}=\infty,
segue
e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{1+\infty}=0.

Passo 3

Para entrada rampa de inclinação 10,[cm/s] =\!100,[mm/s], escrevemos R(s)=100/s^2. O erro em regime permanente para rampa é
e_{\mathrm{ss}} =\lim_{s\to0}s\,E(s) =\lim_{s\to0}\frac{s\,(100/s^2)}{1+K\,G(s)} =\frac{100}{\lim_{s\to0}s\,K\,G(s)}.
Definindo a constante de erro de velocidade
K_v=\lim_{s\to0}s\,K\,G(s) =K\;\lim_{s\to0}\frac{10}{0{,}001\,s+1} =10\,K,
temos
e_{\mathrm{ss}}=\frac{100}{10\,K}=\frac{10}{K}\quad[\mathrm{mm}].
Queremos e_{\mathrm{ss}}=0{,}1,[mm], então
\frac{10}{K}=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad K=100.

Resposta

(a) O erro em regime permanente para degrau é zero.
(b) Para que o erro em rampa seja 0{,}1,[mm] com inclinação de 10,[cm/s], é necessário K=100.

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