Encontre o par de polos do sistema de segunda ordem com as seguintes características:
Overshoot =12 \%, tempo de acomodação =0,6[\mathrm{~s}]

Passo 1

O enunciado pede um sistema de segunda ordem subamortecido com overshoot de 12\% e tempo de acomodação de 0,6,s. Para resolver precisamos das fórmulas padrão:
M_p = \exp\!\Bigl(-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Bigr)
para o overshoot e
t_s = \frac{4}{\zeta\,\omega_n}
para o tempo de acomodação (critério dos 2 %).

Passo 2

Primeiro achamos o coeficiente de amortecimento \zeta usando
M_p=0,12 = \exp\!\Bigl(-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Bigr).
Tomando logaritmo,
\ln(0,12) = -\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} = \frac{-\ln(0,12)}{\pi}\approx0,675.
Elevando ao quadrado e resolvendo dá
\zeta \approx 0,56.

Passo 3

Agora usamos o tempo de acomodação
t_s = 0,6 = \frac{4}{\zeta\,\omega_n} \quad\Longrightarrow\quad \omega_n = \frac{4}{\zeta\,t_s} = \frac{4}{0,56\cdot0,6}\approx11,93\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Os polos do sistema são
s_{1,2} = -\zeta\,\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Substituindo \zeta=0,56 e \omega_n=11,93:
\Real\{s\} = -0,56\cdot11,93 \approx -6,67, \quad \Imag\{s\} = 11,93\sqrt{1-0,56^2}\approx9,90.

Resposta

Os polos são
s_{1,2} \approx -6,67 \pm j\,9,90.

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