Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}=4 \mathrm{e} z=x y\right\}

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do conjunto
C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2=4\text{ e }z=xy\}.
Este conjunto é a curva de interseção entre o cilindro de raio 2, x^2+y^2=4, e a superfície z=xy. Para resolver, vamos usar coordenadas polares para descrever o cilindro e depois impor z=xy.

Passo 2

No cilindro x^2+y^2=4, podemos usar um parâmetro \;t\in[0,2\pi)\; e definir
x=2\cos t, \quad y=2\sin t.

Passo 3

Como z deve satisfazer z=xy, substituímos as expressões de x e y:
z = (2\cos t)\,(2\sin t) = 4\cos t\,\sin t = 2\sin(2t).

Passo 4

Reunindo tudo, uma parametrização de C é
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;2\sin(2t)\bigr), \quad 0 \le t < 2\pi.

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;2\sin(2t)\bigr),\quad 0 \le t < 2\pi.}

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