(MAT2454-2020) Sejam
e
dois intervalos abertos e
duas curvas deriváveis. Dizemos que
e
se tangenciam em um ponto
se existem
e
tais que
e
são vetores paralelos não nulos.
Considere as curvas
dadas por
a) Determine a intersecção das imagens de
e de
.
b) Determine o ponto em que
e
se tangenciam e escreva a equação da reta tangente às imagens de
e
neste ponto.
Considere as curvas
b) Determine o ponto em que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) encontrar todos os pontos
tais que existe e com
- (b) entre esses pontos de intersecção, achar aquele em que as derivadas
e são vetores paralelos não nulos (i.e.\ tangência), e escrever a reta tangente ali.
Para isso vamos igualar coordenadas dee , resolver para , depois comparar com .
Passo 2
Igualando
a
obtemos o sistema
Somando as duas equações cancelações levam a
e subtraindo a segunda menos a primeira dá
Passo 3
Como
, substituindo obtemos
Para cada
encontramos
e o ponto:
-
,: .
. -
,: .
. -
,: .
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas:
Para cada
checamos paralelismo
. Só em
temos
logo são paralelos não nulos. Nos outros pontos não há escalar que torne os dois vetores proporcionais.
Passo 5
No ponto de tangência
a direção comum é
. A reta tangente em forma cartesiana é
Resposta
(a)
(b) As curvas se tangenciam em
e a reta tangente é
.