(MAT2454-2020) Sejam I e J dois intervalos abertos e \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{2} duas curvas deriváveis. Dizemos que \alpha e \beta se tangenciam em um ponto P se existem t_{0} \in I e s_{0} \in J tais que \alpha\left(t_{0}\right)=\beta\left(s_{0}\right)=P e \alpha^{\prime}\left(t_{0}\right), \beta^{\prime}\left(s_{0}\right) são vetores paralelos não nulos.
Considere as curvas \sigma, \eta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dadas por
\sigma(t)=(-\sqrt{2} \cos t+\operatorname{sen} t+1, \sqrt{2} \cos t+\operatorname{sen} t) \quad \text { e } \quad \eta(s)=\left(s^{2}-s, s^{2}+s-1\right)
a) Determine a intersecção das imagens de \sigma e de \eta.
b) Determine o ponto em que \sigma e \eta se tangenciam e escreva a equação da reta tangente às imagens de \sigma e \eta neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) encontrar todos os pontos P\in\mathbb{R}^2 tais que existe t e s com
\sigma(t)=\eta(s)=P.
  • (b) entre esses pontos de intersecção, achar aquele em que as derivadas \sigma'(t) e \eta'(s) são vetores paralelos não nulos (i.e.\ tangência), e escrever a reta tangente ali.
    Para isso vamos igualar coordenadas de \sigma(t) e \eta(s), resolver para s,t, depois comparar \sigma'(t) com \eta'(s).

Passo 2

Igualando \sigma(t)=(x,y) a \eta(s)=(x,y) obtemos o sistema
\begin{cases} -\sqrt{2}\cos t + \operatorname{sen} t + 1 = s^2 - s,\\\ \sqrt{2}\cos t + \operatorname{sen} t = s^2 + s -1. \end{cases}
Somando as duas equações cancelações levam a
2\operatorname{sen} t + 1 = 2s^2 -1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} t = s^2-1,
e subtraindo a segunda menos a primeira dá
2\sqrt{2}\cos t -1 = 2s-1 \quad\Longrightarrow\quad \cos t = \frac{s}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Como \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t=1, substituindo obtemos
(s^2-1)^2 + \Bigl(\frac{s}{\sqrt{2}}\Bigr)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; s^2\,(s^2-\tfrac32)=0 \;\Longrightarrow\; s=0,\;\pm\sqrt{\tfrac32}.
Para cada s encontramos t e o ponto:
  • s=0,: \operatorname{sen} t=-1,\;\cos t=0\implies t=-\tfrac\pi2.
    P=(0,-1).
  • s=+\sqrt{3/2},: \operatorname{sen} t=\tfrac12,\;\cos t=\tfrac{\sqrt3}2\implies t=\tfrac\pi6.
    P=\bigl(\tfrac{3-\sqrt6}2,\;\tfrac{1+\sqrt6}2\bigr).
  • s=-\sqrt{3/2},: \operatorname{sen} t=\tfrac12,\;\cos t=-\tfrac{\sqrt3}2\implies t=\tfrac{5\pi}6.
    P=\bigl(\tfrac{3+\sqrt6}2,\;\tfrac{1-\sqrt6}2\bigr).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas:
\sigma'(t)=\bigl(\sqrt{2}\operatorname{sen} t+\cos t,\,-\sqrt{2}\operatorname{sen} t+\cos t\bigr),\quad \eta'(s)=(2s-1,\;2s+1).
Para cada P checamos paralelismo \sigma'(t)\parallel\eta'(s). Só em s=0,\;t=-\tfrac\pi2 temos
\sigma'\bigl(-\tfrac\pi2\bigr)=(-\sqrt2,\sqrt2)=\sqrt2\,(-1,1), \quad \eta'(0)=(-1,1),
logo são paralelos não nulos. Nos outros pontos não há escalar que torne os dois vetores proporcionais.

Passo 5

No ponto de tangência P=(0,-1) a direção comum é (-1,1). A reta tangente em forma cartesiana é
y+1 = \frac{1}{-1}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y = -x -1.

Resposta

(a) \Im\sigma\cap\Im\eta=\bigl\{(0,-1),\,( \tfrac{3-\sqrt6}2,\tfrac{1+\sqrt6}2 ),\,( \tfrac{3+\sqrt6}2,\tfrac{1-\sqrt6}2 )\bigr\}.
(b) As curvas se tangenciam em P=(0,-1) e a reta tangente é y=-x-1.

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