Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=4 x^{2}+y^{2}\right. e \left.y=x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do conjunto
C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=4x^2+y^2,\;y=x^2\},
ou seja, a interseção de um paraboloide com um cilindro parabólico. Como temos duas equações para três variáveis, esse conjunto é uma curva em \mathbb{R}^3. Para parametrizar, basta escolher uma variável livre como parâmetro.

Passo 2

Escolhemos t\in\mathbb{R} e definimos
x = t.
Pela segunda equação y=x^2, vem
y = t^2.
Substituindo em z=4x^2+y^2, obtemos
z = 4t^2 + (t^2)^2 = 4t^2 + t^4.
Portanto, uma parametrização é
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\;t^2,\;4t^2 + t^4\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t) = (t,\;t^2,\;4t^2 + t^4),\\ t\in\mathbb{R}.

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