Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{e} z=1+y\right\}

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção
C=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\;z=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{e}\quad z=1+y\}.
O conteúdo é achar uma parametrização de uma curva definida pela interseção de um cone circular reto (meia-abertura para cima) com um plano. Vamos usar coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy) para resolver.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = r,
pois \sqrt{x^2+y^2}=r. A curva C satisfaz também z=1+y, isto é,
r = 1 + r\sin\theta.

Passo 3

Da equação
r = 1 + r\sin\theta
colocamos em evidência r:
r - r\sin\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad r\,(1 - \sin\theta) = 1 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{1}{1 - \sin\theta},
válido sempre que \sin\theta\neq 1.

Passo 4

Substituímos r=\frac1{1-\sin\theta} na parametrização cilíndrica. Assim, uma parametrização de C é
\mathbf r(\theta) = \Bigl(x(\theta),\,y(\theta),\,z(\theta)\Bigr) = \biggl( \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta},\; \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta},\; \frac{1}{1-\sin\theta} \biggr),
com \theta\in[0,2\pi) e \theta\neq\frac\pi2 (para não anular o denominador).

Resposta

\boxed{ \mathbf r(\theta) = \biggl( \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta},\; \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta},\; \frac{1}{1-\sin\theta} \biggr), \quad \theta\in[0,2\pi),\;\theta\neq\tfrac\pi2. }

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