Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x^{2}+y^{2} \mathrm{e} z=2 y\right\}

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção das superfícies
z = x^2 + y^2
e
z = 2y
em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é parametrização de curva obtida como interseção de duas superfícies.

Passo 2

Para encontrar a projeção dessa curva no plano xy, igualamos as duas expressões para z:
x^2 + y^2 = 2y
Passando tudo para um lado:
x^2 + y^2 - 2y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + (y-1)^2 = 1.
Isso mostra que a projeção é um círculo de centro (0,1) e raio 1.

Passo 3

Vamos parametrizar esse círculo usando um parâmetro t. Uma escolha natural é
x(t) = \cos t, \qquad y(t) = 1 + \sin t,
para t\in[0,2\pi). Com isso, x^2+(y-1)^2 = \cos^2t + \sin^2t =1.

Passo 4

Agora usamos a equação do plano z=2y para obter z(t). Como y(t)=1+\sin t, temos
z(t) = 2\,y(t) = 2\bigl(1+\sin t\bigr) = 2 + 2\sin t.

Passo 5

Reunindo tudo na forma vetorial, obtemos uma parametrização da curva C:
\mathbf r(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) = \bigl(\cos t,\;1+\sin t,\;2+2\sin t\bigr), \quad 0 \le t < 2\pi.

Resposta

\mathbf r(t) = \bigl(\cos t,\;1+\sin t,\;2+2\sin t\bigr), \quad t\in[0,2\pi).

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