Encontre uma parametrização de cada conjunto abaixo.
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}=9\right. e \left.x+y=2 z\right\}

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva de interseção entre o cilindro x^{2}+y^{2}=9 e o plano x+y=2z. O conteúdo envolve usar coordenadas polares (ou trigonometria) para o círculo no plano xy e depois determinar z a partir da equação do plano.

Passo 2

Para o cilindro x^{2}+y^{2}=9 usamos a parametrização trigonométrica
x=3\cos t,\quad y=3\sin t,
com t variando em [0,2\pi).
Como no plano vale x+y=2z, temos
2z = x+y = 3\cos t + 3\sin t \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{3}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

Resposta

Uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t) =\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) =\Bigl(3\cos t,\;3\sin t,\;\tfrac{3}{2}(\cos t+\sin t)\Bigr), \quad t\in[0,2\pi).

Exercícios relacionados