Encontre a parametrização da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma parametrização da esfera dada por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\;.
Informações fornecidas e claras do enunciado: \;a\; é o raio da esfera (constante), a esfera está centrada na origem (0,0,0) e precisamos representar todos os pontos (x,y,z) dessa superfície por meio de dois parâmetros.

Passo 2

Vamos introduzir dois parâmetros angulares que identificam qualquer ponto na esfera: \theta e \varphi. Aqui eu vou definir claramente o que cada um significa e quais são seus intervalos:
\theta é o ângulo medido a partir do eixo z positivo em direção ao ponto (chamado de ângulo polar); seu intervalo será \;0\le \theta\le \pi\;.
\varphi é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x positivo (chamado de ângulo azimutal); seu intervalo será \;0\le \varphi<2\pi\;.
Ou seja, cada ponto da esfera será descrito por um par (\theta,\varphi).

Passo 3

Vamos pegar um ponto P qualquer da esfera e olhar a geometria no plano que contém o eixo z e o raio \overrightarrow{OP} (onde O é a origem). O raio OP tem comprimento a. Ao projetar P no plano xy obtemos um ponto cuja distância à origem eu chamo de r_{xy}. Pela definição do ângulo \theta (entre OP e o eixo z):
\;z=a\cos\theta\; porque a componente ao longo de z é o cateto adjacente no triângulo retângulo de hipotenusa a.
A distância projetada no plano xy é o cateto oposto, então \;r_{xy}=a\sin\theta\;.

Passo 4

Agora, no próprio plano xy aplicamos coordenadas polares para expressar x e y em termos de r_{xy} e \varphi. Em coordenadas polares:
\;x=r_{xy}\cos\varphi\; e \;y=r_{xy}\sin\varphi\;. Substituindo r_{xy}=a\sin\theta obtemos, componente a componente:
\;x=a\sin\theta\cos\varphi\;,
\;y=a\sin\theta\sin\varphi\;,
e já vimos que \;z=a\cos\theta\;.

Passo 5

Para confirmar que essas fórmulas realmente descrevem pontos da esfera, substituímos em \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\;:
x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + a^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + a^{2}\cos^{2}\theta.
Fatorando a^{2}\sin^{2}\theta nas duas primeiras parcelas:
= a^{2}\sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi) + a^{2}\cos^{2}\theta.
Como \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1 e \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, segue
x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta) = a^{2},
ou seja, as fórmulas satisfazem exatamente a equação da esfera.

Passo 6

Observações práticas e de prova sobre a parametrização:
  • Domínio: \;0\le \theta\le \pi,\;0\le \varphi<2\pi\;. Assim cobrimos toda a esfera.
  • Pontos singulares: nos polos ( \theta=0 e \theta=\pi) temos x=y=0 e z=\pm a; nesses pontos o parâmetro \varphi é irrelevante (qualquer \varphi dá o mesmo ponto). Isso é esperado: a parametrização não é injetiva nos polos, mas isso é normal e aceitável em provas.
  • Caso você prefira usar “latitude” em vez de \theta, existe outra forma equivalente: tomando \lambda como latitude com -\tfrac{\pi}{2}\le\lambda\le\tfrac{\pi}{2}, as fórmulas ficam \;x=a\cos\lambda\cos\varphi,\;y=a\cos\lambda\sin\varphi,\;z=a\sin\lambda\;. É só uma mudança de nome e trocas de seno/cosseno.

Passo 7

Testes rápidos para fixar a intuição (faça isso na prova para checar):
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (meio do caminho entre polos) temos z=0 e (x,y)=(a\cos\varphi,a\sin\varphi): é o equador de raio a.
  • Para \varphi=0 temos y=0 e x=a\sin\theta,\;z=a\cos\theta: pontos no plano xz. Esses testes ajudam a entender que a parametrização faz sentido geometricamente.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\;a\sin\theta\sin\varphi,\;a\cos\theta\bigr),\quad 0\le \theta\le \pi,\;0\le \varphi<2\pi

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