Encontre a parametrização da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma parametrização da esfera dada por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\;.
Informações fornecidas e claras do enunciado: \;a\; é o raio da esfera (constante), a esfera está centrada na origem (0,0,0) e precisamos representar todos os pontos (x,y,z) dessa superfície por meio de dois parâmetros.
Passo 2
Vamos introduzir dois parâmetros angulares que identificam qualquer ponto na esfera: \theta e \varphi. Aqui eu vou definir claramente o que cada um significa e quais são seus intervalos: \theta é o ângulo medido a partir do eixo z positivo em direção ao ponto (chamado de ângulo polar); seu intervalo será \;0\le \theta\le \pi\;. \varphi é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x positivo (chamado de ângulo azimutal); seu intervalo será \;0\le \varphi<2\pi\;.
Ou seja, cada ponto da esfera será descrito por um par (\theta,\varphi).
Passo 3
Vamos pegar um ponto P qualquer da esfera e olhar a geometria no plano que contém o eixo z e o raio \overrightarrow{OP} (onde O é a origem). O raio OP tem comprimento a. Ao projetar P no plano xy obtemos um ponto cuja distância à origem eu chamo de r_{xy}. Pela definição do ângulo \theta (entre OP e o eixo z): \;z=a\cos\theta\; porque a componente ao longo de z é o cateto adjacente no triângulo retângulo de hipotenusa a.
A distância projetada no plano xy é o cateto oposto, então \;r_{xy}=a\sin\theta\;.
Passo 4
Agora, no próprio plano xy aplicamos coordenadas polares para expressar x e y em termos de r_{xy} e \varphi. Em coordenadas polares: \;x=r_{xy}\cos\varphi\; e \;y=r_{xy}\sin\varphi\;. Substituindo r_{xy}=a\sin\theta obtemos, componente a componente: \;x=a\sin\theta\cos\varphi\;, \;y=a\sin\theta\sin\varphi\;,
e já vimos que \;z=a\cos\theta\;.
Passo 5
Para confirmar que essas fórmulas realmente descrevem pontos da esfera, substituímos em \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\;:
ou seja, as fórmulas satisfazem exatamente a equação da esfera.
Passo 6
Observações práticas e de prova sobre a parametrização:
Domínio: \;0\le \theta\le \pi,\;0\le \varphi<2\pi\;. Assim cobrimos toda a esfera.
Pontos singulares: nos polos (\theta=0 e \theta=\pi) temos x=y=0 e z=\pm a; nesses pontos o parâmetro \varphi é irrelevante (qualquer \varphi dá o mesmo ponto). Isso é esperado: a parametrização não é injetiva nos polos, mas isso é normal e aceitável em provas.
Caso você prefira usar “latitude” em vez de \theta, existe outra forma equivalente: tomando \lambda como latitude com -\tfrac{\pi}{2}\le\lambda\le\tfrac{\pi}{2}, as fórmulas ficam \;x=a\cos\lambda\cos\varphi,\;y=a\cos\lambda\sin\varphi,\;z=a\sin\lambda\;. É só uma mudança de nome e trocas de seno/cosseno.
Passo 7
Testes rápidos para fixar a intuição (faça isso na prova para checar):
Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (meio do caminho entre polos) temos z=0 e (x,y)=(a\cos\varphi,a\sin\varphi): é o equador de raio a.
Para \varphi=0 temos y=0 e x=a\sin\theta,\;z=a\cos\theta: pontos no plano xz. Esses testes ajudam a entender que a parametrização faz sentido geometricamente.