Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa pesando 3,2 libras é presa à mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 multiplicado pela velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio.
b) Escreva a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
a) Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio.
b) Escreva a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Uma força de
libras distende a mola pé. (Dado para achar a constante elástica.) - Uma massa pesando
libras é presa à mola. (Dado para achar a massa em unidades de massa.) - Força de amortecimento igual numericamente a
vezes a velocidade instantânea. (Ou seja, força de amortecimento = .) - A massa é solta do repouso a partir do ponto
pé acima da posição de equilíbrio. (Condição inicial.)
- Uma força de
-
O que o enunciado pede:
a) Encontre a equação do movimento (isto é, a equação diferencial e sua solução) assumindo que mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e que o sinal positivo é para cima; condições iniciais: pé e .
b) Escreva a solução na forma da equação (23) (forma amplitude–fase do tipo).
c) Ache a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima (ou seja, o menortal que e ).
Passo 2
Encontrar constantes físicas: constante da mola
, massa
no sistema inglês (slugs), e coeficiente de amortecimento
.
- Hooke: a força necessária para distender a mola é
. Como libras e pé,
- Massa: num problema em libras, o “peso”
e a massa estão relacionados por com pés/s (aceleração da gravidade). Assim,
- Amortecimento: a força de amortecimento dada é
vezes a velocidade, ou seja, com
Expliquei o que representam
(rigidez da mola),
(massa em slugs) e
(coeficiente linear de amortecimento) para que você saiba de onde vêm estes números.
Passo 3
Montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola amortecido sem outras forças externas, a equação é
onde
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positivo para cima),
é velocidade e
aceleração.
Substituindo
,
e
:
Dividindo tudo por
para simplificar:
Aqui já temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; as condições iniciais são
Passo 4
Resolver a equação diferencial homogênea. Primeiro encontramos a equação característica associada:
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos:
Quando as raízes são
(aqui
,
), a solução geral é
Portanto, no nosso caso,
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para achar
e
.
- Em
:
Como
, temos
- Derivada
. Derivando :
Simplificando um pouco (mas sem pular passos),
Avalie em
:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Escrever a solução completa com os coeficientes encontrados. Substituindo
e
:
Isto responde a parte (a): a equação do movimento (equação diferencial) e sua solução particular com as condições iniciais dadas.
Passo 7
Transformar a solução para a forma amplitude–fase pedida em (23). A forma pedida é
com
e
um ângulo tal que
e
combinam corretamente com os coeficientes.
Aqui já temos
com
e
. Para combinar em uma única cosseno, usamos as identidades:
Igualando coeficientes:
- A amplitude
é
- O ângulo de fase
satisfaz
Portanto
Assim a forma amplitude–fase é
Isto responde a parte (b). Comentei como achamos
e
para você aprender a converter qualquer combinação de cosseno e seno numa única cosseno com fase.
Passo 8
Achar a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
- Zeros de
: como para todo , resolver equivale a
Isto pode ser reescrito como
Ou, usando a forma fase, os zeros ocorrem quando
Assim
- Determinar qual zero corresponde a cruzar para cima: examinamos o sinal da velocidade em um zero. Da expressão em forma fase,
a derivada é
Em um zero,
, então
Para os zeros dados por
temos
. Portanto
- Se
, (movendo-se para baixo). - Se
, (movendo-se para cima).
Portanto o primeiro cruzamento para cima corresponde a
.
- Calcule
para . Usando ,
Podemos também usar a relação
(identidade
para
), o que dá a forma alternativa
- Valor numérico (para uma ideia de tempo):
logo
Concluímos que o primeiro instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para cima é
, ou equivalentemente
, aproximadamente
s.
Resposta
a) Equação diferencial e solução:
b) Forma amplitude–fase (equação (23)):
c) Primeira passagem pela posição de equilíbrio dirigindo-se para cima: