Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa pesando 3,2 libras é presa à mola e o sistema é então imerso em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 0,4 multiplicado pela velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento admitindo que a massa seja inicialmente solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio.
b) Escreva a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma força de 2 libras distende a mola 1 pé. (Dado para achar a constante elástica.)
    • Uma massa pesando 3{,}2 libras é presa à mola. (Dado para achar a massa em unidades de massa.)
    • Força de amortecimento igual numericamente a 0,4 vezes a velocidade instantânea. (Ou seja, força de amortecimento = 0{,}4\,v.)
    • A massa é solta do repouso a partir do ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio. (Condição inicial.)
  • O que o enunciado pede:
    a) Encontre a equação do movimento (isto é, a equação diferencial e sua solução x(t)) assumindo que x mede o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e que o sinal positivo é para cima; condições iniciais: x(0)=1 pé e x'(0)=0.
    b) Escreva a solução na forma da equação (23) (forma amplitude–fase do tipo x(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\beta t-\delta)).
    c) Ache a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima (ou seja, o menor t>0 tal que x(t)=0 e x'(t)>0).

Passo 2

Encontrar constantes físicas: constante da mola k, massa m no sistema inglês (slugs), e coeficiente de amortecimento c.
  • Hooke: a força necessária para distender a mola é F=k\,\Delta x. Como F=2 libras e \Delta x=1 pé,
k=\frac{2}{1}=2\quad\text{(libras por pé).}é
  • Massa: num problema em libras, o “peso” W e a massa m estão relacionados por W=m g com g=32 pés/s ^2 (aceleração da gravidade). Assim,
m=\frac{W}{g}=\frac{3{,}2}{32}=0{,}1\quad\text{(slugs).}
  • Amortecimento: a força de amortecimento dada é 0{,}4 vezes a velocidade, ou seja, F_{\text{am}}=c v com
c=0{,}4.
Expliquei o que representam k (rigidez da mola), m (massa em slugs) e c (coeficiente linear de amortecimento) para que você saiba de onde vêm estes números.

Passo 3

Montar a equação do movimento. Para um sistema massa-mola amortecido sem outras forças externas, a equação é
m x'' + c x' + k x = 0,
onde x(t) é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (positivo para cima), x' é velocidade e x'' aceleração.
Substituindo m=0{,}1, c=0{,}4 e k=2:
0{,}1\,x'' + 0{,}4\,x' + 2\,x = 0.
Dividindo tudo por 0{,}1 para simplificar:
x'' + 4\,x' + 20\,x = 0.
Aqui já temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; as condições iniciais são
x(0)=1,\qquad x'(0)=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial homogênea. Primeiro encontramos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 20 = 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot20 = 16 - 80 = -64.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{-4 \pm 8i}{2} = -2 \pm 4i.
Quando as raízes são r=-\alpha\pm i\beta (aqui \alpha=2, \beta=4), a solução geral é
x(t)=e^{-\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\big).
Portanto, no nosso caso,
x(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos(4t) + C_2\sin(4t)\big).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
  • Em t=0:
x(0)=e^{0}(C_1\cos0 + C_2\sin0)=C_1 \cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Como x(0)=1, temos
C_1=1.
  • Derivada x'(t). Derivando x(t)=e^{-2t}(C_1\cos4t + C_2\sin4t):
x'(t)=e^{-2t}\big(-2(C_1\cos4t+C_2\sin4t) + (-4C_1\sin4t + 4C_2\cos4t)\big).
Simplificando um pouco (mas sem pular passos),
x'(t)=e^{-2t}\big[(-2C_1 + 4C_2)\cos4t + (-2C_2 -4C_1)\sin4t\big].
Avalie em t=0:
x'(0)=(-2C_1 + 4C_2)\cdot 1 + (-2C_2 -4C_1)\cdot 0 = -2C_1 + 4C_2.
Como x'(0)=0 e C_1=1, obtemos
-2\cdot 1 + 4 C_2 =0 \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{1}{2}.

Passo 6

Escrever a solução completa com os coeficientes encontrados. Substituindo C_1=1 e C_2=\tfrac{1}{2}:
x(t)=e^{-2t}\Big(\cos4t + \tfrac{1}{2}\sin4t\Big).
Isto responde a parte (a): a equação do movimento (equação diferencial) e sua solução particular com as condições iniciais dadas.

Passo 7

Transformar a solução para a forma amplitude–fase pedida em (23). A forma pedida é
x(t)=A e^{-\alpha t}\cos(\beta t - \delta),
com A>0 e \delta um ângulo tal que \cos\delta e \sin\delta combinam corretamente com os coeficientes.
Aqui já temos x(t)=e^{-2t}(C_1\cos4t + C_2\sin4t) com C_1=1 e C_2=\tfrac12. Para combinar em uma única cosseno, usamos as identidades:
C_1\cos4t + C_2\sin4t = A\cos(4t-\delta)=A(\cos4t\cos\delta + \sin4t\sin\delta).
Igualando coeficientes:
A\cos\delta = C_1 = 1,\qquad A\sin\delta = C_2 = \tfrac{1}{2}.
  • A amplitude A é
A=\sqrt{C_1^2 + C_2^2}=\sqrt{1^2 + \big(\tfrac{1}{2}\big)^2}=\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
  • O ângulo de fase \delta satisfaz
\cos\delta=\frac{1}{A}=\frac{1}{\sqrt{5}/2}=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \sin\delta=\frac{1/2}{A}=\frac{1/2}{\sqrt{5}/2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Portanto
\delta=\arctan\!\big(\tfrac{\sin\delta}{\cos\delta}\big)=\arctan\!\big(\tfrac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}}\big)=\arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
Assim a forma amplitude–fase é
x(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}\,e^{-2t}\cos\!\big(4t - \arctan(\tfrac{1}{2})\big).
Isto responde a parte (b). Comentei como achamos A e \delta para você aprender a converter qualquer combinação de cosseno e seno numa única cosseno com fase.

Passo 8

Achar a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
  • Zeros de x(t): como e^{-2t}>0 para todo t, resolver x(t)=0 equivale a
\cos4t + \tfrac{1}{2}\sin4t =0.
Isto pode ser reescrito como
\tan4t = -2.
Ou, usando a forma fase, os zeros ocorrem quando
\cos(4t-\delta)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4t-\delta = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Assim
t_k = \frac{\delta + \frac{\pi}{2} + k\pi}{4}.
  • Determinar qual zero corresponde a cruzar para cima: examinamos o sinal da velocidade em um zero. Da expressão em forma fase,
x(t)=A e^{-2t}\cos(4t-\delta),
a derivada é
x'(t)=A e^{-2t}\big(-2\cos(4t-\delta) -4\sin(4t-\delta)\big).
Em um zero, \cos(4t-\delta)=0, então
x'(t)= -4A e^{-2t}\sin(4t-\delta).
Para os zeros dados por 4t-\delta=\frac{\pi}{2}+k\pi temos \sin(4t-\delta)=(-1)^k. Portanto
x'(t)=-4A e^{-2t}(-1)^k.
  • Se k=0, x'(t)=-4A e^{-2t}<0 (movendo-se para baixo).
  • Se k=1, x'(t)=-4A e^{-2t}(-1)=+4A e^{-2t}>0 (movendo-se para cima).
Portanto o primeiro cruzamento para cima corresponde a k=1.
  • Calcule t para k=1. Usando \delta=\arctan(\tfrac{1}{2}),
t=\frac{\delta + \frac{\pi}{2} + \pi}{4}=\frac{\delta + \tfrac{3\pi}{2}}{4}.
Podemos também usar a relação \delta=\arctan(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{2}-\arctan(2) (identidade \arctan x + \arctan(1/x)=\tfrac{\pi}{2} para x>0), o que dá a forma alternativa
t=\frac{2\pi - \arctan(2)}{4}.
  • Valor numérico (para uma ideia de tempo):
\delta=\arctan(\tfrac{1}{2})\approx 0{,}4636476\quad\text{rad},
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t\approx \frac{0{,}4636476 + 3\cdot 1{,}5707963}{4} \approx 1{,}2940\\ \text{segundos}.
Concluímos que o primeiro instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para cima é t=\dfrac{\arctan(1/2)+\tfrac{3\pi}{2}}{4}, ou equivalentemente t=\dfrac{2\pi-\arctan(2)}{4}, aproximadamente 1{,}294 s.

Resposta

a) Equação diferencial e solução:
x''+4x'+20x=0,\qquad x(0)=1,\;x'(0)=0,
\boxed{x(t)=e^{-2t}\big(\cos4t+\tfrac{1}{2}\sin4t\big).}
b) Forma amplitude–fase (equação (23)):
\boxed{x(t)=\frac{\sqrt{5}}{2}\,e^{-2t}\cos\!\big(4t-\arctan(\tfrac{1}{2})\big).}
c) Primeira passagem pela posição de equilíbrio dirigindo-se para cima:
\boxed{t=\frac{\arctan(\tfrac{1}{2})+\tfrac{3\pi}{2}}{4}=\frac{2\pi-\arctan(2)}{4}\approx 1{,}294\ \text{s}.}

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