Depois que uma massa pesando 10 libras é presa a uma mola de 5 pés, a mola passa a medir 7 pés de comprimento. A massa é então removida e substituída por outra pesando 8 libras. O sistema todo é posto então em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta do ponto \frac{1}{2} pé abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 1 pé/s para baixo.
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache os instantes nos quais a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça o gráfico da equação do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
  • Comprimento natural da mola: \,5 pés.
  • Ao prender uma massa que pesa \,10 libras a mola, seu comprimento passa a ser \,7 pés. (Logo a mola estica \,2 pés sob 10 lb.)
  • A massa é então removida e colocada outra que pesa \,8 libras.
  • O meio oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea (isto é, a força de amortecimento vale 1 vezes a velocidade, no sentido contrário ao movimento).
  • Condições iniciais (com a segunda massa de \,8 lb): a massa é solta do ponto \tfrac{1}{2} pé abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade \,1 pé/s para baixo.
Perguntas:
a) Encontre a equação do movimento (equação de x(t)) usando as condições dadas.
b) Expresse a solução na forma indicada em (23) (forma com amplitude e fase — ou seja, C e^{-\alpha t}\cos(\omega t-\varphi)).
c) Ache os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça (descreva) o gráfico da equação do movimento.

Passo 2

Determinar constantes físicas: constante elástica da mola k e massa \,m.
A mola, sob a ação de 10 lb, esticou \,2 pés (porque 7-5=2). Pelo princípio de Hooke a força restauradora no equilíbrio é igual ao peso aplicado:
k \cdot (\text{extensão}) = \text{peso}.ã
Logo
k = \frac{10}{2} = 5\quad\text{(libras por pé).}é
A massa de \,8 libras tem massa inercial (em unidades usuais dos E.U.A.) obtida dividindo o peso pela gravidade g=32\\ \text{ft/s}^2:
m = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\quad\text{(slugs).}
A força de amortecimento é numericamente igual à velocidade; portanto o coeficiente de amortecimento é
c = 1\quad\text{(unidades lb·s/ft).}
Resumo já calculado: k=5, m=\tfrac14, c=1.

Passo 3

Escolha de sinais e montagem da equação diferencial.
  • Vamos tomar x(t) como o deslocamento medido para baixo a partir da posição de equilíbrio da massa de 8 lb. Assim x>0 significa abaixo do equilíbrio; velocidade para baixo corresponde a x'>0.
  • Forças sobre a massa (sinal positivo para baixo): peso e outras forças de equilíbrio já foram incorporadas ao definir a posição de equilíbrio; as forças dinâmicas restantes são a força elástica restauradora (para cima, portanto - k x) e a força de amortecimento (oposta ao sentido do movimento, então -c x' se x' é para baixo).
Pela segunda lei de Newton escrita para deslocamento x (força resultante = m x''; atenção aos sinais), obtemos a equação homogênea com amortecimento:
m x'' + c x' + k x = 0.
Substituindo m=\tfrac14, c=1, k=5 obtemos
\frac{1}{4}x'' + x' + 5x = 0.
Multiplicando por 4 para simplificar:
x'' + 4x' + 20x = 0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes.
Procuramos soluções da forma x(t)=e^{rt}. A equação característica é
r^{2}+4r+20=0.
Calcule o discriminante: \Delta = 4^{2} - 4\cdot1\cdot20 = 16-80 = -64. Portanto raízes complexas:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-64}}{2} = -2 \pm 4i.
Para raízes r = \alpha \pm i\beta com \alpha=-2 e \beta=4, a solução geral é a forma amortecida:
x(t) = e^{\alpha t}\big(A\cos(\beta t) + B\sin(\beta t)\big).
Aqui:
x(t) = e^{-2t}\big(A\cos(4t) + B\sin(4t)\big).
Expliquei: quando as raízes são complexas conjugadas, vemos um movimento oscilatório com frequência angular \beta e decaimento exponencial com taxa |\alpha|.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B.
Condições dadas (na nossa escolha de eixos):
x(0)=\tfrac{1}{2}\quad\text{(me soltar do ponto 1/2 pé abaixo do equilíbrio)},éí
x'(0)=1\quad\text{(velocidade 1 pé/s para baixo, ou seja, positiva).}é
Primeiro x(0): substituindo t=0 na solução geral,
x(0)=A = \tfrac{1}{2}.
Agora precisamos de x'(t). Diferenciando x(t)=e^{-2t}(A\cos4t + B\sin4t):
x'(t) = e^{-2t}\big((-2A+4B)\cos4t + (-2B-4A)\sin4t\big).
(Aqui usei a regra do produto e as derivadas (\cos4t)'=-4\sin4t, (\sin4t)'=4\cos4t.)
Avalie em t=0:
x'(0) = -2A + 4B.
Queremos x'(0)=1, e já sabemos A=\tfrac{1}{2}. Então
-2\cdot\frac{1}{2} + 4B = 1 \quad\Rightarrow\quad -1 + 4B = 1 \quad\Rightarrow\quad 4B = 2 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{1}{2}.
Portanto A=B=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
\boxed{\,x(t) = \frac{1}{2}e^{-2t}\big(\cos4t + \sin4t\big)\,.}
Isso responde a parte (a).

Passo 6

Parte (b): escrever na forma amplitude-fase (a forma do enunciado (23)).
Queremos transformar \cos4t + \sin4t em uma única cosseno com fase. Use a identidade padrão:
\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\!\Big(\theta - \frac{\pi}{4}\Big).
Aplicando com \theta=4t,
\cos4t + \sin4t = \sqrt{2}\cos\!\Big(4t - \frac{\pi}{4}\Big).
Logo
x(t) = \frac{1}{2} e^{-2t} \sqrt{2}\cos\!\Big(4t - \frac{\pi}{4}\Big) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2t}\cos\!\Big(4t - \frac{\pi}{4}\Big).
Aqui a amplitude (máxima absoluta inicial multiplicada pelo decaimento exponencial) é C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, a taxa de decaimento exponencial é 2 (porque e^{-2t}), a frequência angular é 4 e a fase é \varphi=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 7

Parte (c): instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
Passagem pela posição de equilíbrio significa x(t)=0. Da solução x(t) = \tfrac{1}{2}e^{-2t}(\cos4t+\sin4t) (e e^{-2t}\neq0 para t\ge0) isso equivale a
\cos4t + \sin4t = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tan4t = -1.
As soluções de \tan\theta=-1 são \theta = -\tfrac{\pi}{4} + n\pi para n\in\mathbb{Z}. Assim
4t = -\frac{\pi}{4} + n\pi \quad\Rightarrow\quad t_n = -\frac{\pi}{16} + n\frac{\pi}{4}.
Destes valores, tomamos apenas t_n\ge0.
Agora precisamos selecionar apenas aqueles instantes em que a massa atravessa dirigindo-se para baixo, ou seja, quando x'(t)>0 (lembre: tomamos direção para baixo como positiva). Vamos analisar o sinal de x' nos zeros.
Já calculamos a expressão geral de x'(t). Avaliada nos zeros, usando \cos4t = -\sin4t, obtém-se
x'(t_n) = -4 e^{-2t_n}\sin4t_n.
Usando a forma da solução para 4t_n (isto é, 4t_n = -\tfrac{\pi}{4} + n\pi) temos
\sin4t_n = \sin\!\Big(-\frac{\pi}{4} + n\pi\Big) = (-1)^n \sin\!\Big(-\frac{\pi}{4}\Big) = -(-1)^n\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em x'(t_n):
x'(t_n) = -4 e^{-2t_n}\left(-(-1)^n\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\,(-1)^n e^{-2t_n}.
Portanto o sinal de x'(t_n) é o de (-1)^n. Para que x'(t_n)>0 temos que (-1)^n=+1, isto é, n deve ser par.
Tomando n=2m com m\in\mathbb{Z}, obtemos
t = -\frac{\pi}{16} + 2m\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{16} + m\frac{\pi}{2} = m\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{16}.
Para os t\ge0 começamos com m=1, que dá o menor tempo positivo:
t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{16} = \frac{7\pi}{16}\\ (\approx 1{,}374\\ \text{s}).
Uma forma mais simples de listar todos os instantes (a partir do primeiro positivo) é
\boxed{\,t = \frac{7\pi}{16} + k\frac{\pi}{2},\quad k=0,1,2,\dots\,}
Nesses instantes a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.

Passo 8

Parte (d): gráfico da equação do movimento (descrição e pontos importantes).
A solução é uma senoide amortecida com envoltórias exponenciais:
x(t)=\frac{1}{2}e^{-2t}(\cos4t+\sin4t) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2t}\cos\!\Big(4t-\frac{\pi}{4}\Big).
Envelopes (limites superior e inferior) são
x_{\text{env}}(t) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-2t}.
Pontos e comportamentos notáveis (valores aproximados numéricos para desenhar o gráfico à mão):
  • x(0)=\tfrac{1}{2}=0{,}5 pé (ponto inicial).
  • x'(0)=1 pé/s (velocidade inicial para baixo).
  • Primeiro zero positivo: t=\dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}589 s (cruzando a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima nesse instante).
  • Primeiro instante em que cruza dirigindo-se para baixo: t=\dfrac{7\pi}{16}\approx 1{,}374 s.
  • Amplitude inicial efetiva C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071; por efeito do fator e^{-2t} essa amplitude decai rápido: por exemplo em t=0{,}5 s o fator e^{-2t}\approx e^{-1}=0{,}3679 e a amplitude já é bem menor.
  • Gráfico: traçar a função oscilando com período T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2} (aprox. 1{,}571 s) e com amplitude multiplicada por e^{-2t}. As cristas e vales seguem as curvas +\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-2t} e -\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{-2t}.
Para desenhar: comece em x(0)=0{,}5 com inclinação positiva, faça a senoide que cruza x=0 em t\approx0{,}589 (subindo), atinge um pico negativo depois e assim por diante, mantendo o decaimento exponencial das amplitudes conforme as envoltórias acima.

Resposta

(a) \displaystyle x(t)=\frac{1}{2}e^{-2t}\big(\cos4t+\sin4t\big).
(b) \displaystyle x(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}\,e^{-2t}\cos\!\Big(4t-\frac{\pi}{4}\Big).
(c) \displaystyle t=\frac{7\pi}{16}+k\frac{\pi}{2},\quad k=0,1,2,\dots
(d) Gráfico: senoide amortecida com solução \displaystyle x(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-2t}\cos\!\Big(4t-\frac{\pi}{4}\Big), envelopes \pm\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-2t}, x(0)=0{,}5, período \pi/2 e decaimento rápido pela fator e^{-2t}.

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