Depois que uma massa pesando 10 libras é presa a uma mola de 5 pés, a mola passa a medir 7 pés de comprimento. A massa é então removida e substituída por outra pesando 8 libras. O sistema todo é posto então em um meio que oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea.
a) Encontre a equação do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta do ponto
pé abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 1 pé/s para baixo.
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache os instantes nos quais a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça o gráfico da equação do movimento.
a) Encontre a equação do movimento supondo que a massa seja inicialmente solta do ponto
b) Expresse a equação do movimento na forma dada em (23).
c) Ache os instantes nos quais a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça o gráfico da equação do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
- Comprimento natural da mola:
pés. - Ao prender uma massa que pesa
libras a mola, seu comprimento passa a ser pés. (Logo a mola estica pés sob lb.) - A massa é então removida e colocada outra que pesa
libras. - O meio oferece uma força de amortecimento numericamente igual à velocidade instantânea (isto é, a força de amortecimento vale
vezes a velocidade, no sentido contrário ao movimento). - Condições iniciais (com a segunda massa de
lb): a massa é solta do ponto pé abaixo da posição de equilíbrio, com velocidade pé/s para baixo.
Perguntas:
a) Encontre a equação do movimento (equação de ) usando as condições dadas.
b) Expresse a solução na forma indicada em (23) (forma com amplitude e fase — ou seja, ).
c) Ache os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça (descreva) o gráfico da equação do movimento.
a) Encontre a equação do movimento (equação de
b) Expresse a solução na forma indicada em (23) (forma com amplitude e fase — ou seja,
c) Ache os instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
d) Faça (descreva) o gráfico da equação do movimento.
Passo 2
Determinar constantes físicas: constante elástica da mola
e massa
.
A mola, sob a ação de
lb, esticou
pés (porque
). Pelo princípio de Hooke a força restauradora no equilíbrio é igual ao peso aplicado:
Logo
A massa de
libras tem massa inercial (em unidades usuais dos E.U.A.) obtida dividindo o peso pela gravidade
:
A força de amortecimento é numericamente igual à velocidade; portanto o coeficiente de amortecimento é
Resumo já calculado:
,
,
.
Passo 3
Escolha de sinais e montagem da equação diferencial.
- Vamos tomar
como o deslocamento medido para baixo a partir da posição de equilíbrio da massa de lb. Assim significa abaixo do equilíbrio; velocidade para baixo corresponde a . - Forças sobre a massa (sinal positivo para baixo): peso e outras forças de equilíbrio já foram incorporadas ao definir a posição de equilíbrio; as forças dinâmicas restantes são a força elástica restauradora (para cima, portanto -
) e a força de amortecimento (oposta ao sentido do movimento, então se é para baixo).
Pela segunda lei de Newton escrita para deslocamento
(força resultante =
; atenção aos sinais), obtemos a equação homogênea com amortecimento:
Substituindo
,
,
obtemos
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes.
Procuramos soluções da forma
. A equação característica é
Calcule o discriminante:
. Portanto raízes complexas:
Para raízes
com
e
, a solução geral é a forma amortecida:
Aqui:
Expliquei: quando as raízes são complexas conjugadas, vemos um movimento oscilatório com frequência angular
e decaimento exponencial com taxa
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Condições dadas (na nossa escolha de eixos):
Primeiro
: substituindo
na solução geral,
Agora precisamos de
. Diferenciando
:
(Aqui usei a regra do produto e as derivadas
,
.)
Avalie em
:
Queremos
, e já sabemos
. Então
Portanto
. Substituindo:
Isso responde a parte (a).
Passo 6
Parte (b): escrever na forma amplitude-fase (a forma do enunciado (23)).
Queremos transformar
em uma única cosseno com fase. Use a identidade padrão:
Aplicando com
,
Logo
Aqui a amplitude (máxima absoluta inicial multiplicada pelo decaimento exponencial) é
, a taxa de decaimento exponencial é
(porque
), a frequência angular é
e a fase é
.
Passo 7
Parte (c): instantes em que a massa passa pela posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
Passagem pela posição de equilíbrio significa
. Da solução
(e
para
) isso equivale a
As soluções de
são
para
. Assim
Destes valores, tomamos apenas
.
Agora precisamos selecionar apenas aqueles instantes em que a massa atravessa dirigindo-se para baixo, ou seja, quando
(lembre: tomamos direção para baixo como positiva). Vamos analisar o sinal de
nos zeros.
Já calculamos a expressão geral de
. Avaliada nos zeros, usando
, obtém-se
Usando a forma da solução para
(isto é,
) temos
Substituindo em
:
Portanto o sinal de
é o de
. Para que
temos que
, isto é,
deve ser par.
Tomando
com
, obtemos
Para os
começamos com
, que dá o menor tempo positivo:
Uma forma mais simples de listar todos os instantes (a partir do primeiro positivo) é
Nesses instantes a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para baixo.
Passo 8
Parte (d): gráfico da equação do movimento (descrição e pontos importantes).
A solução é uma senoide amortecida com envoltórias exponenciais:
Envelopes (limites superior e inferior) são
Pontos e comportamentos notáveis (valores aproximados numéricos para desenhar o gráfico à mão):
-
pé (ponto inicial). -
pé/s (velocidade inicial para baixo). - Primeiro zero positivo:
s (cruzando a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima nesse instante). - Primeiro instante em que cruza dirigindo-se para baixo:
s. - Amplitude inicial efetiva
; por efeito do fator essa amplitude decai rápido: por exemplo em s o fator e a amplitude já é bem menor. - Gráfico: traçar a função oscilando com período
(aprox. s) e com amplitude multiplicada por . As cristas e vales seguem as curvas e .
Para desenhar: comece em
com inclinação positiva, faça a senoide que cruza
em
(subindo), atinge um pico negativo depois e assim por diante, mantendo o decaimento exponencial das amplitudes conforme as envoltórias acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráfico: senoide amortecida com solução , envelopes
,
, período
e decaimento rápido pela fator
.
(b)
(c)
(d) Gráfico: senoide amortecida com solução