Encontre uma parametrização da superficie.
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro (x-2)^{2}+z^{2}= 4 entre os planos y=0 e y=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cilindro definido por
(x-2)^{2}+z^{2}=4
entre os planos y=0 e y=3.
Conteúdo: parametrização de superfícies cilíndricas usando coordenadas cilíndricas adaptadas.

Passo 2

Para parametrizar um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo y, usamos como parâmetro angular \theta em torno do eixo e um parâmetro y ao longo da geratriz. No nosso caso, o centro da seção circular está em (2,0,0) no plano xz e o raio é 2.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas deslocadas, tomamos
x = 2 + 2\cos\theta,
z = 2\sin\theta,
e mantemos
y = y,
onde \theta varia de 0 a 2\pi e y varia de 0 a 3.

Passo 4

Logo, a parametrização \mathbf{r}(\theta,y) da superfície é
\mathbf{r}(\theta,y) = \bigl(2 + 2\cos\theta,\;y,\;2\sin\theta\bigr),
com domínio
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le y \le 3.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,y) = \bigl(2 + 2\cos\theta,\;y,\;2\sin\theta\bigr), \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\;0 \le y \le 3.

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