Encontre uma parametrização da superficie.
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x-y+2 z=2.
Dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=2

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do plano
x - y + 2z = 2
que está contida dentro do cilindro
y^2 + z^2 = 2.
O conteúdo é parametrização de superfícies usando projeção no plano y\!z e coordenadas polares para descrever a região projetada.

Passo 2

Vamos projetar essa porção de superfície no plano y\!z. Na projeção, (y,z) percorrem o disco
D = \{(y,z)\mid y^2 + z^2 \le 2\}.
Para cada ponto (y,z) em D, o valor de x na superfície é dado pela equação do plano, isolando x:
x = 2 + y - 2z.

Passo 3

Para descrever o disco D de forma conveniente, introduzimos coordenadas polares (r,\theta) no plano y\!z:
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,
com
0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Substituindo y=r\cos\theta e z=r\sin\theta em x=2+y-2z, obtemos
x(r,\theta) = 2 + r\cos\theta - 2\,r\sin\theta.
Logo, uma parametrização da superfície é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) = \bigl(2 + r\cos\theta - 2r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr).

Passo 5

O domínio de parâmetros é
0 \le r \le \sqrt{2},\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(2 + r\cos\theta - 2r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 0 \le r \le \sqrt{2},\;0 \le \theta \le 2\pi.

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