Encontre uma parametrização da superficie.
Plano inclinado dentro de um cilindro A porção do plano x-y+2 z=2.
Dentro do cilindro x^{2}+z^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção do plano
x - y + 2z = 2
contida no cilindro
x^2 + z^2 = 3.
O método é escrever o plano como gráfico de y em função de x e z e usar (x,z) como parâmetros sobre a região projetada.

Passo 2

Da equação do plano temos
x - y + 2z = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = x + 2z - 2.

Passo 3

Escolhemos os parâmetros (u,v) correspondendo a (x,z), de modo que
x = u, \quad z = v,
e a região de (u,v) é
D = \{(u,v)\mid u^2 + v^2 \le 3\},
pois estamos dentro do cilindro x^2+z^2\le3.

Passo 4

Substituindo em y = x+2z-2, a parametrização fica
\mathbf r(u,v) = \bigl(u,\;u + 2v - 2,\;v\bigr),
com (u,v)\in D.

Resposta

\mathbf r(u,v) = \bigl(u,\;u + 2v - 2,\;v\bigr), \quad u^2 + v^2 \le 3.

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