Encontre o polinômio característico de cada matriz:
\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio característico da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=4, a_{21}=-1, a_{22}=4.
  • A pergunta é apenas o polinômio característico associado a A.

Passo 2

O que é o polinômio característico? Vou explicar devagarinho. Para uma matriz quadrada A e uma variável escalar \lambda, o polinômio característico é definido por
p(\lambda)=\det\!\bigl(A-\lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e \det(\cdot) é o determinante. Aqui \lambda representa um número geral (não conhecido) — quando resolvermos p(\lambda)=0 obtemos os autovalores, mas agora o pedido é só o polinômio, então vamos calcular p(\lambda).

Passo 3

Primeiro escrevemos A-\lambda I. A matriz identidade 2\times2 é
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
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A-\lambda I=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-\lambda & 4 \\[4pt] -1 & 4-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora usamos a fórmula do determinante para matrizes 2\times2. Se
M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} \\[4pt] m_{21} & m_{22}\end{pmatrix},
então
\det(M)=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21}.
Aplicando isso a A-\lambda I com m_{11}=3-\lambda, m_{12}=4, m_{21}=-1, m_{22}=4-\lambda, temos
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(4-\lambda)-4\cdot(-1).]

Passo 5

Vamos desenvolver e simplificar cuidadosamente cada termo.
Calcule o produto (3-\lambda)(4-\lambda). Expandindo passo a passo:
(3-\lambda)(4-\lambda)=3\cdot4-3\lambda-4\lambda+\lambda^2=12-7\lambda+\lambda^2.
O outro termo é
-4\cdot(-1)=+4.
Somando os dois resultados:
p(\lambda)=\bigl(12-7\lambda+\lambda^2\bigr)+4=\lambda^2-7\lambda+16.

Passo 6

Interpretação rápida (só para fixar): o polinômio característico encontrado é um polinômio quadrático em \lambda. Se fosse necessário achar os autovalores, resolveríamos p(\lambda)=0, mas isso não foi pedido. Bom trabalho por ter chegado até aqui — já dominou o procedimento para qualquer 2\times2!

Resposta

\lambda^{2}-7\lambda+16

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