As entradas de A são a_{11}=3, a_{12}=-2, a_{13}=4, a_{21}=-2, a_{22}=1, a_{23}=5, a_{31}=4, a_{32}=1, a_{33}=6.
A tarefa é escrever explicitamente o polinômio característico associado a A.]
Passo 2
Definição e convenção que vou usar (explicação didática): o polinômio característico em muitos cursos é tomado pela forma monica
p(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável do polinômio. Aqui:
\lambda é a incógnita (número complexo ou real) que aparece no polinômio;
\lambda I é a matriz diagonal \mathrm{diag}(\lambda,\lambda,\lambda);
\det(\lambda I - A) significa calcular o determinante da matriz obtida subtraindo A de \lambda I.
Esta escolha faz com que o polinômio seja monico (o coeficiente do termo \lambda^{3} seja 1), o que é a forma padrão para apresentar o polinômio característico.
Passo 3
Escrever \lambda I - A. Subtraindo A de \lambda I obtemos
Agora calculamos o determinante dessa matriz. Para organizar o cálculo, é equivalente (e às vezes mais direto) calcular primeiro \det(A-\lambda I) e depois multiplicar por -1 (pois para n=3 vale \det(\lambda I - A)= -\det(A-\lambda I)). Vou calcular \det(A-\lambda I) por expansão na primeira linha e depois trocar de sinal.
Obter o polinômio característico monico p(\lambda)=\det(\lambda I - A). Como para n=3 vale \det(\lambda I - A)=-\det(A-\lambda I), multiplicamos o resultado anterior por -1:
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)=\lambda^{3}-10\lambda^{2}+2\lambda+85.
Comentário didático rápido (checagem útil na prova): os coeficientes conferem com invariantes da matriz:
traço \operatorname{tr}A=3+1+6=10 aparece como coeficiente de \lambda^{2} com sinal negativo em p(\lambda);
a soma dos menores principais 2\times2 é 1+2+(-1)=2 (ver cálculo dos menores principais), que aparece como coeficiente de \lambda;
\det(A)=-85 aparece com sinal negativo como termo constante em p(\lambda). Essas checagens ajudam a evitar erros de sinais.