Encontre o polinômio característico de cada matriz:
\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio característico da matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -2 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 4\end{pmatrix}.
As informações relevantes são apenas os elementos dessa matriz (cada entrada está na posição correspondente linha/coluna).]

Passo 2

O polinômio característico de uma matriz quadrada A é definido como
\chi(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade da mesma ordem de A e \lambda é a variável do polinômio. Aqui \lambda representa um escalar genérico — na prática, são os valores que, quando substituídos por \lambda e tornam o determinante zero, são os autovalores de A.
Uma forma alternativa é calcular \det(A-\lambda I). Para matrizes de ordem n vale
\det(A-\lambda I)=(-1)^n\det(\lambda I - A).
Como n=3 (ímpar), tem-se \det(\lambda I - A)=-\det(A-\lambda I). Vou calcular \det(A-\lambda I) (porque fica prático) e depois obter \chi(\lambda) multiplicando por -1.

Passo 3

Formo a matriz A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 & 0 \\[4pt] 0 & -2-\lambda & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante expandindo pela primeira linha (escolha conveniente porque há um zero na posição (1,3)). A regra de Sarrus ou cofactores dá:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 3 \\[4pt] 3 & 4-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] 2 & 4-\lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 3 \\[4pt] 3 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(-2-\lambda)(4-\lambda)-3\cdot 3.
Explicando passo a passo:
(-2-\lambda)(4-\lambda)=\lambda^2-2\lambda-8
(essa expansão vem de (-\lambda-2)(4-\lambda)=\lambda^2-2\lambda-8), e subtraindo 3\cdot3=9 obtém-se
(-2-\lambda)(4-\lambda)-9=\lambda^2-2\lambda-17.
O outro menor é
\det\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}=0\cdot(4-\lambda)-3\cdot 2=-6.
Substituindo de volta:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^2-2\lambda-17\bigr)-1\cdot(-6).
Ou seja,
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^2-2\lambda-17\bigr)+6.]

Passo 4

Faço a multiplicação e simplifico passo a passo:
(2-\lambda)\bigl(\lambda^2-2\lambda-17\bigr) =2(\lambda^2-2\lambda-17)-\lambda(\lambda^2-2\lambda-17).
Calculando cada parte:
2(\lambda^2-2\lambda-17)=2\lambda^2-4\lambda-34,
\lambda(\lambda^2-2\lambda-17)=\lambda^3-2\lambda^2-17\lambda.
Subtraindo:
(2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-17)= -\lambda^3+4\lambda^2+13\lambda-34.
Somando o +6 que vinha do outro termo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+4\lambda^2+13\lambda-28.
Lembrando que \chi(\lambda)=\det(\lambda I - A)=-\det(A-\lambda I) (porque n=3 é ímpar), obtenho o polinômio característico monico:
\chi(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-13\lambda+28.

Resposta

\lambda^{3}-4\lambda^{2}-13\lambda+28

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