Encontre o polinômio característico de cada matriz:
\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 4 \\\\ -2 & 1 & 5 \\\\ 4 & 1 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o polinômio característico” da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 4 \\[4pt] -2 & 1 & 5 \\[4pt] 4 & 1 & 6\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • As entradas de A são a_{11}=3, a_{12}=-2, a_{13}=4, a_{21}=-2, a_{22}=1, a_{23}=5, a_{31}=4, a_{32}=1, a_{33}=6.
  • A tarefa é escrever explicitamente o polinômio característico associado a A.]

Passo 2

Definição e convenção que vou usar (explicação didática): o polinômio característico em muitos cursos é tomado pela forma monica
p(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade 3\times3 e \lambda é a variável do polinômio. Aqui:
  • \lambda é a incógnita (número complexo ou real) que aparece no polinômio;
  • \lambda I é a matriz diagonal \mathrm{diag}(\lambda,\lambda,\lambda);
  • \det(\lambda I - A) significa calcular o determinante da matriz obtida subtraindo A de \lambda I.
    Esta escolha faz com que o polinômio seja monico (o coeficiente do termo \lambda^{3} seja 1), o que é a forma padrão para apresentar o polinômio característico.

Passo 3

Escrever \lambda I - A. Subtraindo A de \lambda I obtemos
\lambda I - A=\begin{pmatrix}\lambda-3 & 2 & -4 \\[4pt] 2 & \lambda-1 & -5 \\[4pt] -4 & -1 & \lambda-6\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante dessa matriz. Para organizar o cálculo, é equivalente (e às vezes mais direto) calcular primeiro \det(A-\lambda I) e depois multiplicar por -1 (pois para n=3 vale \det(\lambda I - A)= -\det(A-\lambda I)). Vou calcular \det(A-\lambda I) por expansão na primeira linha e depois trocar de sinal.
Escrevendo
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 & 4 \\[4pt] -2 & 1-\lambda & 5 \\[4pt] 4 & 1 & 6-\lambda\end{pmatrix},
a expansão pela primeira linha dá (regra de Sarrus ou cofactores; aqui uso cofactores):
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)M_{11}-(-2)M_{12}+4M_{13},
onde cada M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 obtido ao eliminar a linha 1 e a coluna j.]

Passo 4

Calcular os menores M_{11}, M_{12}, M_{13}.
  • Para M_{11} (eliminando linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 5 \\[4pt] 1 & 6-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(6-\lambda)-5.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(6-\lambda)=6-7\lambda+\lambda^{2},
portanto
M_{11}=6-7\lambda+\lambda^{2}-5=\lambda^{2}-7\lambda+1.
  • Para M_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-2 & 5 \\[4pt] 4 & 6-\lambda\end{pmatrix}=(-2)(6-\lambda)-5\cdot4.
Calculando:
(-2)(6-\lambda)=-12+2\lambda,
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M_{12}= -12+2\lambda-20=2\lambda-32.
  • Para M_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1-\lambda \\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-4(1-\lambda).
Calculando:
(-2)\cdot1=-2,\qquad -4(1-\lambda)=-4+4\lambda,
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M_{13}=-2-4+4\lambda=4\lambda-6.]

Passo 5

Substituir os menores na expansão de \det(A-\lambda I):
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+1)+2(2\lambda-32)+4(4\lambda-6).
Agora simplificar termo a termo.
Primeiro multiplicar (3-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+1):
(3-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+1)=3\lambda^{2}-21\lambda+3-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-\lambda.
Agrupando termos:
(3-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+1)=-\lambda^{3}+10\lambda^{2}-22\lambda+3.
Somar os outros termos:
2(2\lambda-32)=4\lambda-64,\qquad 4(4\lambda-6)=16\lambda-24.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+10\lambda^{2}-22\lambda+3+4\lambda-64+16\lambda-24.
Reunindo coeficientes de \lambda e constantes:
-22\lambda+4\lambda+16\lambda=-2\lambda,
3-64-24=-85.
Portanto
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+10\lambda^{2}-2\lambda-85.

Passo 6

Obter o polinômio característico monico p(\lambda)=\det(\lambda I - A). Como para n=3 vale \det(\lambda I - A)=-\det(A-\lambda I), multiplicamos o resultado anterior por -1:
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)=\lambda^{3}-10\lambda^{2}+2\lambda+85.
Comentário didático rápido (checagem útil na prova): os coeficientes conferem com invariantes da matriz:
  • traço \operatorname{tr}A=3+1+6=10 aparece como coeficiente de \lambda^{2} com sinal negativo em p(\lambda);
  • a soma dos menores principais 2\times2 é 1+2+(-1)=2 (ver cálculo dos menores principais), que aparece como coeficiente de \lambda;
  • \det(A)=-85 aparece com sinal negativo como termo constante em p(\lambda). Essas checagens ajudam a evitar erros de sinais.

Resposta

\;p(\lambda)=\lambda^{3}-10\lambda^{2}+2\lambda+85

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