Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).
f(x)=x^{3}(-\pi<x<\pi)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar o polinômio trigonométrico F(x) da forma (2) que minimiza o erro quadrado em relação a f(x)=x^{3} no intervalo -\pi\leqq x\leqq\pi.
  • Calcular o valor mínimo do erro quadrado para N=1,2,\ldots,5.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{3} para -\pi<x<\pi.
  • O intervalo de aproximação é -\pi\leqq x\leqq\pi.
  • A “forma (2)” corresponde ao polinômio trigonométrico típico (série truncada):
F_{N}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
  • Precisamos do F_{N}(x) que minimiza o erro quadrado (no sentido da norma L^{2} sobre [-\pi,\pi]) e do valor mínimo do erro quadrado para cada N.

Passo 2

Princípio usado (sem entrar no conteúdo da matéria ainda): entre todos os polinômios trigonométricos da forma dada, o que minimiza o erro quadrado é a projeção de f sobre o subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos Nx,\sin Nx\}. Essa projeção é exatamente dada pelos coeficientes de Fourier truncados:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Vou explicar por que e como calcular cada um desses termos passo a passo.

Passo 3

Paridade de f (muito útil para simplificar):
  • f(x)=x^{3} é uma função ímpar: f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x).
  • Produto de uma função ímpar com \cos(nx) (que é par) é ímpar, logo sua integral simétrica é zero:
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{3}\cos(nx)\,dx=0\quad\text{para todo }n\ge0.
  • Produto de duas funções ímpares ( x^{3} e \sin(nx) ) é par, logo os b_{n} podem ser não-nulos:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx.
Portanto o melhor aproximador tem somente termos senoidais:
F_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).

Passo 4

Cálculo explícito de b_{n}. Como o integrando é par, escrevemos
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx.
Definimos
I_{n}=\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin(nx)\,dx,
e calculamos I_{n} por integrações por partes repetidas.

Passo 5

Integração por partes (1ª vez):
Tomamos u=x^{3}, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=3x^{2}dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
I_{n}=\left.-\frac{x^{3}\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{3}{n}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Como \cos(n\pi)=(-1)^{n} e \cos(0)=1, o termo de fronteira é -\dfrac{\pi^{3}\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}. Definimos
J_{n}=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Logo
I_{n}=-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{3}{n}J_{n}.

Passo 6

Integração por partes (2ª vez) para J_{n}:
Tomamos u=x^{2}, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}.
J_{n}=\left.\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
As fronteiras valem zero (pois \sin(n\pi)=\sin(0)=0). Definimos
K_{n}=\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx,
assim
J_{n}=-\frac{2}{n}K_{n}.

Passo 7

Integração por partes (3ª vez) para K_{n}:
Tomamos u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
K_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
O segundo termo é \dfrac{1}{n}[\sin(nx)/n]_{0}^{\pi}=0. Assim
K_{n}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.

Passo 8

Voltando para J_{n} e I_{n}:
J_{n}=-\frac{2}{n}K_{n}=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Substituindo em I_{n}:
I_{n}=-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{3}{n}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}} =(-1)^{n}\!\left(-\frac{\pi^{3}}{n}+\frac{6\pi}{n^{3}}\right).
Logo, lembrando b_{n}=\dfrac{2}{\pi}I_{n},
b_{n}=\frac{2}{\pi}(-1)^{n}\!\left(-\frac{\pi^{3}}{n}+\frac{6\pi}{n^{3}}\right) =(-1)^{n+1}2\!\left(\frac{\pi^{2}}{n}-\frac{6}{n^{3}}\right).
Podemos escrever mais simples:
\boxed{\,b_{n}=2(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{2}}{n}-\frac{6}{n^{3}}\Bigr)\, .}

Passo 9

Portanto o polinômio trigonométrico ótimo (projeção) é
\boxed{\,F_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N}2(-1)^{\,n+1}\Bigl(\frac{\pi^{2}}{n}-\frac{6}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx)\, .}
Agora precisamos do valor mínimo do erro quadrado. Usamos o teorema de Parseval (norma L^{2}):
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}\,dx=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).
Aqui a_{n}=0 e a_{0}=0. O erro quadrado mínimo quando usamos apenas até N é a norma ao quadrado do complemento da projeção:
E_{N}=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F_{N}(x)\bigr)^{2}dx =\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}dx-\pi\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}.

Passo 10

Calculamos primeiro \int_{-\pi}^{\pi}f(x)^{2}dx:
\int_{-\pi}^{\pi}x^{6}\,dx=2\int_{0}^{\pi}x^{6}\,dx=2\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{\pi}=\frac{2\pi^{7}}{7}.
Agora substituímos b_{n}^{2}. Como b_{n}=2(-1)^{n+1}\bigl(\dfrac{\pi^{2}}{n}-\dfrac{6}{n^{3}}\bigr),
b_{n}^{2}=4\Bigl(\frac{\pi^{2}}{n}-\frac{6}{n^{3}}\Bigr)^{2} =4\Bigl(\frac{\pi^{4}}{n^{2}}-\frac{12\pi^{2}}{n^{4}}+\frac{36}{n^{6}}\Bigr).
Logo
\pi\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2} =4\pi\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{\pi^{4}}{n^{2}}-\frac{12\pi^{2}}{n^{4}}+\frac{36}{n^{6}}\Bigr) =4\pi^{5}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}}-48\pi^{3}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}+144\pi\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{6}}.
Portanto o erro mínimo é
\boxed{\,E_{N}=\frac{2\pi^{7}}{7}-\Bigl(4\pi^{5}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}}-48\pi^{3}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}+144\pi\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{6}}\Bigr)\, .}

Passo 11

Agora calculamos numericamente E_{N} para N=1,2,3,4,5.
Para isso usamos os somatórios finitos:
  • S_{2}(N)=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}},
  • S_{4}(N)=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{4}},
  • S_{6}(N)=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{6}}.
Valores (decimais suficientes para a prova):
  • S_{2}(1)=1,\; S_{4}(1)=1,\; S_{6}(1)=1.
  • S_{2}(2)=\tfrac{5}{4}=1{,}25,\; S_{4}(2)=\tfrac{17}{16}=1{,}0625,\; S_{6}(2)=\tfrac{65}{64}=1{,}015625.
  • S_{2}(3)=\tfrac{49}{36}\approx1{,}3611111111,\; S_{4}(3)\approx1{,}0740740741,\; S_{6}(3)\approx1{,}0169967421.
  • S_{2}(4)=\tfrac{205}{144}\approx1{,}4236111111,\; S_{4}(4)\approx1{,}0779803241,\; S_{6}(4)\approx1{,}0172408827.
  • S_{2}(5)=\tfrac{5269}{3600}\approx1{,}4636111111,\; S_{4}(5)\approx1{,}0795803241,\; S_{6}(5)\approx1{,}0173048828.
Usamos as potências de \pi:
\pi\approx3{,}141592653589793,\quad \pi^{3}\approx31{,}00627668029982,\quad \pi^{5}\approx306{,}0196847852814,\quad \pi^{7}\approx3020{,}293227776792.
Substituindo na fórmula de E_{N} obtemos (cálculo numérico):
  • E_{1}\approx674{,}7741216178848.
  • E_{2}\approx454{,}7046834033353.
  • E_{3}\approx335{,}3016386366902.
  • E_{4}\approx265{,}0578918618659.
  • E_{5}\approx217{,}9021318618659.
(Se você usar uma calculadora/PC com mais casas decimais, obtém os mesmos valores com maior precisão.)

Resposta

N=1:\;674{,}7741216178848
N=2:\;454{,}7046834033353
N=3:\;335{,}3016386366902
N=4:\;265{,}0578918618659
N=5:\;217{,}9021318618659

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