Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador). f(x)=x^{3}(-\pi<x<\pi)
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar o polinômio trigonométrico F(x) da forma (2) que minimiza o erro quadrado em relação a f(x)=x^{3} no intervalo -\pi\leqq x\leqq\pi.
Calcular o valor mínimo do erro quadrado para N=1,2,\ldots,5.
Informações relevantes dadas:
A função é f(x)=x^{3} para -\pi<x<\pi.
O intervalo de aproximação é -\pi\leqq x\leqq\pi.
A “forma (2)” corresponde ao polinômio trigonométrico típico (série truncada):
Precisamos do F_{N}(x) que minimiza o erro quadrado (no sentido da norma L^{2} sobre [-\pi,\pi]) e do valor mínimo do erro quadrado para cada N.
Passo 2
Princípio usado (sem entrar no conteúdo da matéria ainda): entre todos os polinômios trigonométricos da forma dada, o que minimiza o erro quadrado é a projeção de f sobre o subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos Nx,\sin Nx\}. Essa projeção é exatamente dada pelos coeficientes de Fourier truncados: