Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador). f(x)=x^{2}(-\pi<x<\pi)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, claramente separadas: (1) encontrar o polinómio trigonométrico F(x) da forma (2) que minimiza o erro quadrado em relação a f(x)=x^{2} no intervalo -\pi\le x\le\pi; (2) calcular o valor mínimo desse erro quadrado para N=1,2,\ldots,5.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar sem perguntar nada: f(x)=x^{2} para -\pi<x<\pi, o intervalo de aproximação é [-\pi,\pi], e o polinómio trigonométrico tem grau (ou truncamento) N (isto é, usa-se termos até \cos Nx e \sin Nx). Não há outra figura ou tabela faltando.
Passo 2
Primeiro vou escrever explicitamente a “forma (2)” do polinómio trigonométrico que normalmente se usa (esta é a forma padrão de truncamento da série de Fourier):
Aqui a_{0},a_{n},b_{n} são constantes a determinar. Explico por que esta escolha minimiza o erro quadrado (ideia importante para a prova): a aproximação por polinómio trigonométrico de grau N que minimiza o erro quadrado (isto é, minimiza \int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-F(x))^{2}\,dx) é exatamente a projeção ortogonal de f no subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\dots,\cos Nx,\sin Nx\}. Essa projeção é obtida tomando os coeficientes a_{n},b_{n} iguais aos coeficientes da série de Fourier de f. Portanto precisamos calcular os coeficientes de Fourier de f(x)=x^{2}. Vou mostrar passo a passo como obter essas fórmulas e por que elas são as que minimizam o erro.
As fórmulas padrão para os coeficientes (num intervalo de período 2\pi) são:
Vou calcular essas integrais explicitamente para f(x)=x^{2}.
Passo 3
Observação básica e útil (reduz muito contas): f(x)=x^{2} é função par (isto é, f(-x)=f(x)). Para funções pares, todos os b_{n} (coeficientes de \sin nx, funções ímpares) são zero, porque o integrando x^{2}\sin nx é ímpar e a integral sobre um intervalo simétrico é zero. Formalmente,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin nx\,dx=0\quad(\text{para todo }n).
Com esses coeficientes, o polinómio trigonométrico de grau N que minimiza o erro quadrado (isto é, a projeção ortogonal truncada) é a soma parcial da série de Fourier:
Isto é exatamente o polinómio trigonométrico pedido (forma (2) com os coeficientes que acabamos de achar). Na prova: memorizar que para x^{2} a série é essa ajuda muito.
Passo 5
Agora vamos calcular o valor mínimo do erro quadrado, que é o valor de
quando F_{N} é a projeção (ou seja, a soma parcial da série). Pela ortogonalidade das funções trigonométricas e pelo teorema de Parseval para séries de Fourier, a energia total de f se decompõe entre os coeficientes já usados e os omitidos. Em termos práticos, se os coeficientes completos de f são (a_{0},a_{n},b_{n}) e F_{N} usa os coeficientes até n=N, então o erro quadrado é exatamente a soma das contribuições dos coeficientes omitidos:
(Se quiser valores mais exatos, basta usar a fórmula exata E_{N}=16\pi\bigl(\pi^{4}/90-\sum_{n=1}^{N}1/n^{4}\bigr) e uma calculadora/computador; eu mostrei aqui como obter cada termo analiticamente.)]