Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).
f(x)=x^{2}(-\pi<x<\pi)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, claramente separadas: (1) encontrar o polinómio trigonométrico F(x) da forma (2) que minimiza o erro quadrado em relação a f(x)=x^{2} no intervalo -\pi\le x\le\pi; (2) calcular o valor mínimo desse erro quadrado para N=1,2,\ldots,5.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar sem perguntar nada: f(x)=x^{2} para -\pi<x<\pi, o intervalo de aproximação é [-\pi,\pi], e o polinómio trigonométrico tem grau (ou truncamento) N (isto é, usa-se termos até \cos Nx e \sin Nx). Não há outra figura ou tabela faltando.

Passo 2

Primeiro vou escrever explicitamente a “forma (2)” do polinómio trigonométrico que normalmente se usa (esta é a forma padrão de truncamento da série de Fourier):
F_{N}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_{n}\cos nx + b_{n}\sin nx\bigr).
Aqui a_{0},a_{n},b_{n} são constantes a determinar. Explico por que esta escolha minimiza o erro quadrado (ideia importante para a prova): a aproximação por polinómio trigonométrico de grau N que minimiza o erro quadrado (isto é, minimiza \int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-F(x))^{2}\,dx) é exatamente a projeção ortogonal de f no subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\dots,\cos Nx,\sin Nx\}. Essa projeção é obtida tomando os coeficientes a_{n},b_{n} iguais aos coeficientes da série de Fourier de f. Portanto precisamos calcular os coeficientes de Fourier de f(x)=x^{2}. Vou mostrar passo a passo como obter essas fórmulas e por que elas são as que minimizam o erro.
As fórmulas padrão para os coeficientes (num intervalo de período 2\pi) são:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx.
Vou calcular essas integrais explicitamente para f(x)=x^{2}.

Passo 3

Observação básica e útil (reduz muito contas): f(x)=x^{2} é função par (isto é, f(-x)=f(x)). Para funções pares, todos os b_{n} (coeficientes de \sin nx, funções ímpares) são zero, porque o integrando x^{2}\sin nx é ímpar e a integral sobre um intervalo simétrico é zero. Formalmente,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\sin nx\,dx=0\quad(\text{para todo }n).
Agora calculo a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{2}}{3}.
Portanto o termo constante na série (metade de a_{0}) é
\frac{a_{0}}{2}=\frac{\pi^{2}}{3}.
Agora calculo a_{n} para n\ge 1. Usarei integração por partes duas vezes, e vou detalhar as contas para você poder reproduzir na prova.
Queremos
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}\cos nx\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos nx\,dx,
onde passei do integral simétrico para 0 a \pi porque a função é par. Então foco em
I_n=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos nx\,dx.
Faça integração por partes: escolha u=x^{2} e dv=\cos nx\,dx. Assim du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin nx}{n}. Então
I_n = \left.\frac{x^{2}\sin nx}{n}\right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin nx}{n}\cdot 2x\,dx.
O termo de bordo é \dfrac{\pi^{2}\sin n\pi}{n}=0 (porque \sin n\pi=0), então
I_n = -\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin nx\,dx.
Agora calcule J_n=\int_{0}^{\pi} x\sin nx\,dx por partes novamente. Escolha u=x, dv=\sin nx\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos nx}{n}. Assim
J_n = \left.-\frac{x\cos nx}{n}\right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\frac{\cos nx}{n}\,dx = -\frac{\pi\cos n\pi}{n} + \frac{1}{n}\left.\frac{\sin nx}{n}\right|_{0}^{\pi}.
O último termo é zero porque \sin n\pi=0. Como \cos n\pi = (-1)^{n}, obtemos
J_n = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Voltando para I_n,
I_n = -\frac{2}{n}\cdot J_n = -\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right) = \frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Assim
a_{n}=\frac{2}{\pi}I_n = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}} = \frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}.
Resumo dos coeficientes que precisamos:
\boxed{a_{0}=\frac{2\pi^{2}}{3},\qquad a_{n}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}},\qquad b_{n}=0.}

Passo 4

Com esses coeficientes, o polinómio trigonométrico de grau N que minimiza o erro quadrado (isto é, a projeção ortogonal truncada) é a soma parcial da série de Fourier:
\boxed{F_{N}(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos nx.}
Isto é exatamente o polinómio trigonométrico pedido (forma (2) com os coeficientes que acabamos de achar). Na prova: memorizar que para x^{2} a série é essa ajuda muito.

Passo 5

Agora vamos calcular o valor mínimo do erro quadrado, que é o valor de
E_{N}=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F_{N}(x)\bigr)^{2}\,dx
quando F_{N} é a projeção (ou seja, a soma parcial da série). Pela ortogonalidade das funções trigonométricas e pelo teorema de Parseval para séries de Fourier, a energia total de f se decompõe entre os coeficientes já usados e os omitidos. Em termos práticos, se os coeficientes completos de f são (a_{0},a_{n},b_{n}) e F_{N} usa os coeficientes até n=N, então o erro quadrado é exatamente a soma das contribuições dos coeficientes omitidos:
E_{N}=\pi\sum_{n=N+1}^{\infty}\bigl(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\bigr).
No nosso caso b_{n}=0 e a_{n}=\dfrac{4(-1)^{n}}{n^{2}}, então
a_{n}^{2}=\frac{16}{n^{4}},
e portanto
\boxed{E_{N}=\pi\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{16}{n^{4}}=16\pi\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.}
É útil expressar isso usando a função zeta de Riemann: \zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{4}}=\dfrac{\pi^{4}}{90}. Assim
E_{N}=16\pi\Bigl(\zeta(4)-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}\Bigr) =16\pi\Bigl(\frac{\pi^{4}}{90}-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}\Bigr).
Também podemos escrever em forma fechada
\boxed{E_{N}=\frac{8\pi^{5}}{45}-16\pi\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}.}

Passo 6

Agora calculo números concretos para N=1,2,3,4,5. Primeiro calculo as somas parciais \displaystyle S(N)=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{4}}:
\begin{aligned} S(1)&=\dfrac{1}{1^{4}}=1,\\[4pt] S(2)&=1+\dfrac{1}{2^{4}}=1+\dfrac{1}{16}=\dfrac{17}{16}\approx 1{,}0625,\\[4pt] S(3)&=S(2)+\dfrac{1}{3^{4}}=\dfrac{17}{16}+\dfrac{1}{81}\approx 1{,}0748456790123457,\\[4pt] S(4)&=S(3)+\dfrac{1}{4^{4}}=S(3)+\dfrac{1}{256}\approx 1{,}0787519290123457,\\[4pt] S(5)&=S(4)+\dfrac{1}{5^{4}}=S(4)+\dfrac{1}{625}\approx 1{,}0803519290123457. \end{aligned}
Lembrando \zeta(4)=\dfrac{\pi^{4}}{90}\approx 1{,}0823232337111371.
Agora E_{N}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(N)\bigr). Vou dar os valores numéricos aproximados (com umas poucas casas decimais suficientes para prova):
  • Para N=1:
E_{1}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(1)\bigr) =16\pi\bigl(1{,}0823232337111371-1\bigr)\approx 4{,}13803.
  • Para N=2:
E_{2}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(2)\bigr) \approx 16\pi\bigl(1{,}0823232337111371-1{,}0625\bigr)\approx 0{,}99642.
  • Para N=3:
E_{3}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(3)\bigr) \approx 16\pi\bigl(1{,}0823232337111371-1{,}0748456790123457\bigr)\approx 0{,}37588.
  • Para N=4:
E_{4}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(4)\bigr) \approx 16\pi\bigl(1{,}0823232337111371-1{,}0787519290123457\bigr)\approx 0{,}17945.
  • Para N=5:
E_{5}=16\pi\bigl(\zeta(4)-S(5)\bigr) \approx 16\pi\bigl(1{,}0823232337111371-1{,}0803519290123457\bigr)\approx 0{,}09910.
(Se quiser valores mais exatos, basta usar a fórmula exata E_{N}=16\pi\bigl(\pi^{4}/90-\sum_{n=1}^{N}1/n^{4}\bigr) e uma calculadora/computador; eu mostrei aqui como obter cada termo analiticamente.)]

Resposta

F_{N}(x)=\dfrac{\pi^{2}}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos nx.\n
E_{N}=16\pi\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{4}}=16\pi\Bigl(\dfrac{\pi^{4}}{90}-\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{4}}\Bigr).\n
E_{1}\approx 4{,}13803.\n
E_{2}\approx 0{,}99642.\n
E_{3}\approx 0{,}37588.\n
E_{4}\approx 0{,}17945.\n
E_{5}\approx 0{,}09910.

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