Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).
f(x)=\left\{\begin{array}{rcc}-1 & \text { se } & -\pi<x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o polinômio trigonométrico F(x)\) da forma (2) que minimiza o erro quadrado relativo à função \(f(x)\) no intervalo \(-\pi\le x\le\pi\); (2) calcular o valor mínimo desse erro quadrado para \(N=1,2,\ldots,5\). As informações dadas são: \[f(x)=\begin{cases} -1,& -\pi<x<0,\\[4pt] 1,& 0<x<\pi, \end{cases}
o intervalo de aproximação é [-\pi,\pi]\] e o polinômio trigonométrico de grau \(N tem a forma padrão
F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nx+b_n\sin nx\bigr).
Não há outras hipóteses nem dados ocultos. A tarefa é achar os coeficientes a_n,b_n que dão erro quadrado mínimo e calcular o valor desse erro para os N pedidos.]

Passo 2

Ideia do método (explicada de forma simples): para minimizar o erro quadrado no intervalo com o produto interno \langle g,h\rangle=(1/\pi)\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx, a melhor aproximação por um polinômio trigonométrico de grau N é a projeção ortogonal de f no espaço gerado por 1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos Nx,\sin Nx. Os coeficientes dessa projeção são precisamente os coeficientes da série de Fourier de f truncada em N. Vou então calcular os coeficientes de Fourier a_n,b_n (fórmulas clássicas) e escrever F(x). Depois calculo o erro mínimo usando a identidade de Parseval (ou a propriedade da projeção ortogonal).

Passo 3

Fórmulas para os coeficientes (mostrando o que cada coisa significa): para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx,
e
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Essas fórmulas vêm de exigir ortogonalidade dos resíduos e usar as propriedades de \cos e \sin. Vou calcular cada uma explicitamente para a nossa f.

Passo 4

Observação de paridade (muito útil e que simplifica muito): a função f é ímpar, ou seja f(-x)=-f(x) (exceto em x=0, ponto isolado sem efeito em integrais). Como \cos nx é função par e \sin nx é função ímpar, temos imediatamente que todos os a_n e a_0 são zero porque o produto de uma função ímpar com uma par é ímpar e sua integral simétrica anula-se:
a_0=0,\qquad a_n=0\\ \text{ para todo }n\ge1.
Logo só restam os coeficientes b_n.

Passo 5

Cálculo direto de b_n passo a passo: usar a definição e separar as integrais nos dois ramos onde f é constante.
b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin nx\,dx+\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin nx\,dx\Bigr).
Calculo das integrais básicas:
\int_{0}^{\pi}\sin nx\,dx=\Bigl[-\frac{\cos nx}{n}\Bigr]_{0}^{\pi}=\frac{1-(-1)^n}{n},
\int_{-\pi}^{0}\sin nx\,dx=\Bigl[-\frac{\cos nx}{n}\Bigr]_{-\pi}^{0}=\frac{-1+(-1)^n}{n}.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{-1+(-1)^n}{n}+\frac{1-(-1)^n}{n}\Bigr) =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2(1-(-1)^n)}{n}.
Deste resultado vemos que, se n é par então (-1)^n=1 e b_n=0. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2(1-(-1))}{n}=\frac{4}{\pi n}.
Resumo compacto:
b_n=\begin{cases} \displaystyle\frac{4}{\pi n},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0,& n\\ \text{par}. \end{cases}í]

Passo 6

Escrevendo o polinômio trigonométrico ótimo (a projeção): como só aparecem senos ímpares,
F_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin nx =\sum_{m=1}^{M}\frac{4}{\pi(2m-1)}\sin\bigl((2m-1)x\bigr),
onde M=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor é o número de índices ímpares até N. Ou seja, para N par o polinômio de grau N coincide com o de grau N-1.

Passo 7

Fórmula do erro quadrado mínimo (explicada): o erro quadrado mínimo (a integral do quadrado do resíduo) é
E_N=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F_N(x)\bigr)^2\,dx.
Pela ortogonalidade da projeção e pela identidade de Parseval temos
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr),
e o erro (integral sem o 1/\pi) vale
E_N=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\,dx-\pi\Bigl(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr)\Bigr).
No nosso caso a_0=0,a_n=0, e f^2(x)=1 quase em todo lugar, então \int_{-\pi}^{\pi}f^2=2\pi. Assim
E_N=2\pi-\pi\sum_{n=1}^{N}b_n^2.

Passo 8

Expressão explícita do erro usando os b_n ímpares:
apenas os índices n=2m-1 contribuem, com b_{2m-1}=4/(\pi(2m-1)). Então, para M=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor,
\sum_{n=1}^{N}b_n^2=\sum_{m=1}^{M}\frac{16}{\pi^2(2m-1)^2}=\frac{16}{\pi^2}\sum_{m=1}^{M}\frac{1}{(2m-1)^2}.
Substituindo em E_N:
E_N=2\pi-\pi\cdot\frac{16}{\pi^2}\sum_{m=1}^{M}\frac{1}{(2m-1)^2} =2\pi-\frac{16}{\pi}\sum_{m=1}^{M}\frac{1}{(2m-1)^2}.
Essa é a forma exata do erro mínimo para qualquer N. Agora computamos para N=1,2,3,4,5.

Passo 9

Cálculo para N=1,2,3,4,5. Lembrando M=\lfloor (N+1)/2\rfloor.
  • Para N=1: M=1. Então
    F_1(x)=\frac{4}{\pi}\sin x, \qquad E_1=2\pi-\frac{16}{\pi}\cdot 1=2\pi-\frac{16}{\pi}\approx 1{,}1902271282.
  • Para N=2: M=1 (mesmo conjunto de senos), portanto
    F_2(x)=\frac{4}{\pi}\sin x, \qquad E_2=E_1=2\pi-\frac{16}{\pi}\approx 1{,}1902271282.
  • Para N=3: M=2. Temos b_1=\dfrac{4}{\pi}, b_3=\dfrac{4}{3\pi}, portanto
    F_3(x)=\frac{4}{\pi}\sin x+\frac{4}{3\pi}\sin 3x, \qquad E_3=2\pi-\frac{16}{\pi}\Bigl(1+\frac{1}{9}\Bigr)=2\pi-\frac{160}{9\pi}\approx 0{,}6263310577.
  • Para N=4: M=2 (mesmo que N=3), então
    F_4(x)=\frac{4}{\pi}\sin x+\frac{4}{3\pi}\sin 3x, \qquad E_4=E_3=2\pi-\frac{160}{9\pi}\approx 0{,}6263310577.
  • Para N=5: M=3. Acrescenta o termo com \sin5x ( b_5=4/(5\pi)), logo
    F_5(x)=\frac{4}{\pi}\sin x+\frac{4}{3\pi}\sin 3x+\frac{4}{5\pi}\sin 5x,
    e
    E_5=2\pi-\frac{16}{\pi}\Bigl(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}\Bigr) =2\pi-\frac{4144}{225\pi}\approx 0{,}4179901042.
Esses F_N são as projeções ortogonais (truncamentos da série de Fourier ímpar de f) e os E_N são os mínimos erros quadrados correspondentes.

Resposta

N=1:\;F_1(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x,\qquad E_1=2\pi-\dfrac{16}{\pi}\approx 1{,}1902271282
N=2:\;F_2(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x,\qquad E_2=2\pi-\dfrac{16}{\pi}\approx 1{,}1902271282
N=3:\;F_3(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{3\pi}\sin 3x,\qquad E_3=2\pi-\dfrac{160}{9\pi}\approx 0{,}6263310577
N=4:\;F_4(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{3\pi}\sin 3x,\qquad E_4=2\pi-\dfrac{160}{9\pi}\approx 0{,}6263310577
N=5:\;F_5(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{3\pi}\sin 3x+\dfrac{4}{5\pi}\sin 5x,\qquad E_5=2\pi-\dfrac{4144}{225\pi}\approx 0{,}4179901042

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