Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador). f(x)=\left\{\begin{array}{rcc}-1 & \text { se } & -\pi<x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<\pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o polinômio trigonométrico F(x)\) da forma (2) que minimiza o erro quadrado relativo à função \(f(x)\) no intervalo \(-\pi\le x\le\pi\); (2) calcular o valor mínimo desse erro quadrado para \(N=1,2,\ldots,5\).
As informações dadas são:
\[f(x)=\begin{cases} -1,& -\pi<x<0,\\[4pt] 1,& 0<x<\pi, \end{cases}
o intervalo de aproximação é [-\pi,\pi]\] e o polinômio trigonométrico de grau \(N tem a forma padrão
Não há outras hipóteses nem dados ocultos. A tarefa é achar os coeficientes a_n,b_n que dão erro quadrado mínimo e calcular o valor desse erro para os N pedidos.]
Passo 2
Ideia do método (explicada de forma simples): para minimizar o erro quadrado no intervalo com o produto interno \langle g,h\rangle=(1/\pi)\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx, a melhor aproximação por um polinômio trigonométrico de grau N é a projeção ortogonal de f no espaço gerado por 1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos Nx,\sin Nx. Os coeficientes dessa projeção são precisamente os coeficientes da série de Fourier de f truncada em N. Vou então calcular os coeficientes de Fourier a_n,b_n (fórmulas clássicas) e escrever F(x). Depois calculo o erro mínimo usando a identidade de Parseval (ou a propriedade da projeção ortogonal).
Passo 3
Fórmulas para os coeficientes (mostrando o que cada coisa significa): para n\ge1,
Essas fórmulas vêm de exigir ortogonalidade dos resíduos e usar as propriedades de \cos e \sin. Vou calcular cada uma explicitamente para a nossa f.
Passo 4
Observação de paridade (muito útil e que simplifica muito): a função f é ímpar, ou seja f(-x)=-f(x) (exceto em x=0, ponto isolado sem efeito em integrais). Como \cos nx é função par e \sin nx é função ímpar, temos imediatamente que todos os a_n e a_0 são zero porque o produto de uma função ímpar com uma par é ímpar e sua integral simétrica anula-se:
a_0=0,\qquad a_n=0\\ \text{ para todo }n\ge1.
Logo só restam os coeficientes b_n.
Passo 5
Cálculo direto de b_n passo a passo: usar a definição e separar as integrais nos dois ramos onde f é constante.
onde M=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor é o número de índices ímpares até N. Ou seja, para N par o polinômio de grau N coincide com o de grau N-1.
Passo 7
Fórmula do erro quadrado mínimo (explicada): o erro quadrado mínimo (a integral do quadrado do resíduo) é
No nosso caso a_0=0,a_n=0, e f^2(x)=1 quase em todo lugar, então \int_{-\pi}^{\pi}f^2=2\pi. Assim
E_N=2\pi-\pi\sum_{n=1}^{N}b_n^2.
Passo 8
Expressão explícita do erro usando os b_n ímpares:
apenas os índices n=2m-1 contribuem, com b_{2m-1}=4/(\pi(2m-1)). Então, para M=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor,