Encontre Du f no ponto P dado:
f(x, y)=sen(5 x-3 y) ; P(3,5) ; u=35 i-45 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função no ponto P. A função dada é , o ponto P está nas coordenadas (3, 5), e o vetor direção é .
Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes. A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. O gradiente da função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é dado por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x sin(5x - 3y) = 5 cos(5x - 3y) em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a , que é 5.

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y sin(5x - 3y) = -3 cos(5x - 3y) em relação a :
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , e multiplicamos pela derivada de em relação a , que é -3.

Passo 5

Com as derivadas parciais, o gradiente nabla f = ( 5 cos(5x - 3y), -3 cos(5x - 3y) ) fica:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(3, 5):
nabla f(3, 5) = ( 5 cos(5 cdot 3 - 3 cdot 5), -3 cos(5 cdot 3 - 3 cdot 5) )
Simplificando dentro do cosseno:
5 cdot 3 - 3 cdot 5 = 15 - 15 = 0
Então:
nabla f(3, 5) = ( 5 cos(0), -3 cos(0) )
E sabemos que gradient f(3, 5) = (5 cdot 1, -3 cdot 1) = (5, -3) , então:

Passo 7

A derivada direcional na direção do vetor Du f = nabla f cdot u é o produto escalar entre o gradiente e o vetor Du f = (5, -3) cdot ( 35, -45 ) = 5 cdot 35 + (-3) cdot ( -45 ) :
Dado que , temos:

Passo 8

Fazendo as multiplicações:
5 cdot 35 = 3
-3 cdot ( -45 ) = 125
Somando os dois resultados:
3 + 125 = 155 + 125 = 275

Resposta

A derivada direcional no ponto P(3, 5) é .

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