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no ponto P dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função no ponto P. A função dada é
, o ponto P está nas coordenadas (3, 5), e o vetor direção
é
.
Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes. A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. O gradiente da função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é dado por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é 5.
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é -3.
Passo 5
Com as derivadas parciais, o gradiente
fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(3, 5):
Simplificando dentro do cosseno:
Então:
E sabemos que
, então:
Passo 7
A derivada direcional na direção do vetor
é o produto escalar entre o gradiente e o vetor
:
Dado que
, temos:
Passo 8
Fazendo as multiplicações:
Somando os dois resultados:
Resposta
A derivada direcional
no ponto P(3, 5) é
.