Questão 10. Determine a solução geral das EDO y^prime+cos (x) y=0 e y^prime+x^2 y=e^-x^3 / 3
(Resp. a) ln |y|=-sin (x)+C ; b) y=(x+C) e^-x^3 / 3)

Passo 1

O enunciado quer a solução geral de duas EDOs lineares de 1ª ordem: (a) homogênea y'+cos(x)y=0 e (b) não homogênea y'+x^2y=e^-x^3/3. Vamos usar o método do fator integrante em cada caso.

Passo 2

Para (a), temos uma equação homogênea de primeira ordem. Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integralcos(x),dxr)=e^sin(x)
Multiplicando a EDO por mu(x) reconhecemos a derivada do produto:
ddxl(e^sin(x)yr)=0
Integrando, vem
e^sin(x)y=CRightarrow y=C,e^-sin(x)
Tomando logaritmo, obtemos ln|y|=-sin(x)+C.

Passo 3

Para (b), temos y'+x^2y=e^-x^3/3. O fator integrante é
mu(x)=expl(integral x^2,dxr)=e^x^3/3
Multiplicando, a EDO vira
ddxl(e^x^3/3yr)=e^x^3/3,e^-x^3/3=1
Integrando, obtemos
e^x^3/3y=x+CRightarrow y=(x+C)e^-x^3/3

Resposta

a) ln|y|=-sin(x)+C;
b) y=(x+C)e^-x^3/3.

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