Questão 4. Resolva as EDO y^prime=1-3 x-3 y1+x+y( Resp. 2 ln |1-x-y|-1+3 x+y=C)

Passo 1

Na questão temos a EDO de primeira ordem y' = 1 - 3x - 3y1 + x + y. Vamos usar o método de substituição para transformar em equação separável.

Passo 2

Definimos u = 1 + x + y. Então dudx = 1 + y', logo y' = dudx - 1. Também escrevemos y = u - 1 - x.

Passo 3

Substituindo em y' = 1 - 3x - 3yu obtemos
dudx - 1 = 4 - 3uu
pois
1 - 3x - 3(u - 1 - x) = 4 - 3u
Isolando du/dx
.

Passo 4

Reescrevemos como separável: dx = u4 - 2u,du. Integrando ambos os lados resulta em
x = -u2 - ln|u - 2| + C .

Passo 5

Voltando a u = 1 + x + y na expressão de x e multiplicando por 2, obtemos
2x = -1 - x - y - 2ln|x + y - 1| + C1
que leva a
3x + y + 2ln|x + y - 1| = C2
Como ln|x + y - 1| = ln|1 - x - y|, chegamos à forma implícita final.

Resposta

2 \ln|1 - x - y| - 1 + 3x + y = C

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