Encontre o ponto do gráfico da função
mais próximo do ponto (
).
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar tudo claramente):
- A função é
. - O gráfico de
consiste nos pontos com . - O ponto fixo fora do gráfico é
.
O que é pedido: - Encontrar o ponto do gráfico de
que está mais próximo de ; isto é, determinar o valor de (com ) tal que a distância entre e seja mínima, e fornecer as coordenadas desse ponto.
Passo 2
Modelar a distância e transformar o problema para algo mais simples:
- A distância entre
e é
- É sempre mais fácil minimizar o quadrado da distância (porque a função raiz é estritamente crescente): minimizar
é equivalente a minimizar
- Agora simplifico
. Primeiro expando :
Somando
resulta
Portanto, o problema virou: minimizar a função
no domínio
.
Passo 3
Usar derivadas para achar o mínimo:
- Regra rápida: para encontrar extremos de uma função diferenciável, calcula-se a derivada e procura-se pontos críticos onde a derivada é zero (ou não existe). Aqui
é polinomial, diferenciável em todo lugar. - Calculo a derivada de
:
- Igualo a zero para achar candidatos a mínimo:
- Verifico que
pertence ao domínio . Sim, está válido. - Confirmo que é mínimo utilizando a segunda derivada:
então a função é convexe e o ponto crítico é de fato um mínimo.
Passo 4
Calcular as coordenadas do ponto e, se quiser, a distância mínima:
- A coordenada
do ponto mais próximo é . - A ordenada correspondente é
(Expliquei:
.)
- Se quiser saber a distância mínima, basta avaliar
em :
Portanto a distância mínima é
Passo 5
Interpretação final e encorajamento:
- O ponto do gráfico de
mais próximo de é
- Pequena anotação didática: minimizar a distância ao quadrado costuma simplificar muito problemas como este porque elimina a raiz e transforma o problema numa otimização de polinômio; sempre lembre desse truque na prova — é rápido e seguro. Você tá indo bem — respira fundo e guarda esse método para outros exercícios parecidos!