Encontre o ponto do gráfico da função f(x)=\sqrt{x} mais próximo do ponto ( 3 ; 0 ).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar tudo claramente):
  • A função é f(x)=\sqrt{x}.
  • O gráfico de f consiste nos pontos (x,\sqrt{x}) com x\ge 0.
  • O ponto fixo fora do gráfico é (3;0).
    O que é pedido:
  • Encontrar o ponto do gráfico de f que está mais próximo de (3;0); isto é, determinar o valor de x (com x\ge 0) tal que a distância entre (x,\sqrt{x}) e (3;0) seja mínima, e fornecer as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Modelar a distância e transformar o problema para algo mais simples:
  • A distância entre (x,\sqrt{x}) e (3;0) é
d(x)=\sqrt{(x-3)^2+(\sqrt{x}-0)^2}.
  • É sempre mais fácil minimizar o quadrado da distância (porque a função raiz é estritamente crescente): minimizar d(x) é equivalente a minimizar
D(x)=d(x)^2=(x-3)^2+(\sqrt{x})^2.
  • Agora simplifico D(x). Primeiro expando (x-3)^2:
(x-3)^2 = x^2-6x+9.
Somando (\sqrt{x})^2 = x resulta
D(x)=x^2-6x+9 + x = x^2-5x+9.
Portanto, o problema virou: minimizar a função
D(x)=x^2-5x+9
no domínio x\ge 0.

Passo 3

Usar derivadas para achar o mínimo:
  • Regra rápida: para encontrar extremos de uma função diferenciável, calcula-se a derivada e procura-se pontos críticos onde a derivada é zero (ou não existe). Aqui D é polinomial, diferenciável em todo lugar.
  • Calculo a derivada de D:
D'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)+\frac{d}{dx}(9)=2x-5+0=2x-5.
  • Igualo a zero para achar candidatos a mínimo:
2x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{5}{2}.
  • Verifico que x=\tfrac{5}{2} pertence ao domínio x\ge 0. Sim, está válido.
  • Confirmo que é mínimo utilizando a segunda derivada:
D''(x)=2>0,
então a função é convexe e o ponto crítico é de fato um mínimo.

Passo 4

Calcular as coordenadas do ponto e, se quiser, a distância mínima:
  • A coordenada x do ponto mais próximo é x=\tfrac{5}{2}.
  • A ordenada correspondente é
y=\sqrt{x}=\sqrt{\tfrac{5}{2}}=\tfrac{\sqrt{10}}{2}.
(Expliquei: \sqrt{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.)
  • Se quiser saber a distância mínima, basta avaliar D em x=\tfrac{5}{2}:
D\!\left(\tfrac{5}{2}\right)=\left(\tfrac{5}{2}\right)^2-5\cdot\left(\tfrac{5}{2}\right)+9=\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+9=\tfrac{25-50+36}{4}=\tfrac{11}{4}.
Portanto a distância mínima é
d_{\min}=\sqrt{D\!\left(\tfrac{5}{2}\right)}=\sqrt{\tfrac{11}{4}}=\tfrac{\sqrt{11}}{2}.

Passo 5

Interpretação final e encorajamento:
  • O ponto do gráfico de f(x)=\sqrt{x} mais próximo de (3;0) é
\left(\tfrac{5}{2};\,\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right).
  • Pequena anotação didática: minimizar a distância ao quadrado costuma simplificar muito problemas como este porque elimina a raiz e transforma o problema numa otimização de polinômio; sempre lembre desse truque na prova — é rápido e seguro. Você tá indo bem — respira fundo e guarda esse método para outros exercícios parecidos!

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{5}{2};\,\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)

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