Dados dois números cuja soma é 50 , encontre aqueles cujo produto é máximo.
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes:
- Dois números (digamos o primeiro e o segundo) têm soma igual a
. - Pede para encontrar os dois números cujo produto seja máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Soma:
.
O que é pedido:
- Determinar os valores dos dois números que tornam o produto
o maior possível.
Passo 2
Vamos traduzir o enunciado para uma expressão matemática usando variáveis:
- Seja
o primeiro número. - Então o segundo número é
e, pela condição da soma, vale .
Definimos a função produto em termos de
:
Aqui
é o produto dos dois números escrito como função de
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza
e, a partir dele, obter
.
Passo 3
Vamos escrever
de forma explícita e identificar seu tipo:
Isto é um polinômio quadrático da forma
com
,
e
. Como
, a parábola é voltada para baixo e portanto a função tem um máximo (um vértice).
Para uma quadrática
o valor de
que dá o vértice é
Aplicando aos nossos coeficientes
e
:
Passo 4
A partir de
encontramos o segundo número:
Calculemos o produto máximo:
Passo 5
Vou explicar didaticamente por que fizemos esses passos (uma “aula” curta sobre o método usado):
-
Modelagem: sempre que houver uma restrição linear do tipo soma fixa, é comum substituir uma variável pela outra usando essa soma para reduzir o problema a uma função de uma variável só. Aqui transformamos o produto em
. -
Tipo de função:
é quadrática com coeficiente do termo negativo, isso significa que a curva é uma parábola aberta para baixo — tem um único máximo. Para encontrar esse máximo, usamos a fórmula do vértice , que é derivada da forma geral da quadrática ou do cálculo diferencial (derivada zero). -
Interpretação prática: intuitivamente, para uma soma fixa, o produto tende a ser maior quando os números são mais “equilibrados” entre si; a igualdade entre eles costuma maximizar o produto. No nosso caso, o equilíbrio é
e .
Passo 6
Mostro duas maneiras alternativas, rápidas, que reforçam o resultado:
- Completar o quadrado (mostra claramente o máximo):
Da última forma vê-se que
, logo
, com igualdade quando
, isto é,
. Assim o máximo é
em
.
- Desigualdade AM-GM (para números não negativos): se os números são não negativos, pela média aritmética e geométrica,
Com
obtemos
, então
, com igualdade quando
.
Ambos confirmam que os números que maximizam o produto são
e
.