Dados dois números cuja soma é 50 , encontre aqueles cujo produto é máximo.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes:
  • Dois números (digamos o primeiro e o segundo) têm soma igual a 50.
  • Pede para encontrar os dois números cujo produto seja máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Soma: \text{primeiro} + \text{segundo} = 50.
O que é pedido:
  • Determinar os valores dos dois números que tornam o produto \text{primeiro}\times\text{segundo} o maior possível.

Passo 2

Vamos traduzir o enunciado para uma expressão matemática usando variáveis:
  • Seja x o primeiro número.
  • Então o segundo número é y e, pela condição da soma, vale \;y=50-x.
Definimos a função produto em termos de x:
P(x)=x\cdot y = x(50-x).
Aqui P(x) é o produto dos dois números escrito como função de x. Nosso objetivo é encontrar o valor de x que maximiza P(x) e, a partir dele, obter y.

Passo 3

Vamos escrever P(x) de forma explícita e identificar seu tipo:
P(x)=x(50-x)=50x-x^2.
Isto é um polinômio quadrático da forma P(x)=ax^2+bx+c com a=-1, b=50 e c=0. Como a<0, a parábola é voltada para baixo e portanto a função tem um máximo (um vértice).
Para uma quadrática ax^2+bx+c o valor de x que dá o vértice é
x_{\text{vértice}}=-\dfrac{b}{2a}.é
Aplicando aos nossos coeficientes a=-1 e b=50:
x_{\text{vértice}}=-\dfrac{50}{2(-1)}=-\dfrac{50}{-2}=25.é

Passo 4

A partir de x=25 encontramos o segundo número:
y=50-x=50-25=25.
Calculemos o produto máximo:
P(25)=25\cdot25=625.

Passo 5

Vou explicar didaticamente por que fizemos esses passos (uma “aula” curta sobre o método usado):
  • Modelagem: sempre que houver uma restrição linear do tipo soma fixa, é comum substituir uma variável pela outra usando essa soma para reduzir o problema a uma função de uma variável só. Aqui transformamos o produto em P(x)=x(50-x).
  • Tipo de função: P(x)=50x-x^2 é quadrática com coeficiente do termo x^2 negativo, isso significa que a curva é uma parábola aberta para baixo — tem um único máximo. Para encontrar esse máximo, usamos a fórmula do vértice x=-\dfrac{b}{2a}, que é derivada da forma geral da quadrática ou do cálculo diferencial (derivada zero).
  • Interpretação prática: intuitivamente, para uma soma fixa, o produto tende a ser maior quando os números são mais “equilibrados” entre si; a igualdade entre eles costuma maximizar o produto. No nosso caso, o equilíbrio é 25 e 25.

Passo 6

Mostro duas maneiras alternativas, rápidas, que reforçam o resultado:
  1. Completar o quadrado (mostra claramente o máximo):
P(x)=50x-x^2 = -\bigl(x^2-50x\bigr) = -\bigl((x-25)^2-625\bigr) = - (x-25)^2 + 625.
Da última forma vê-se que -(x-25)^2\le 0, logo P(x)\le 625, com igualdade quando (x-25)^2=0, isto é, x=25. Assim o máximo é 625 em x=25.
  1. Desigualdade AM-GM (para números não negativos): se os números são não negativos, pela média aritmética e geométrica,
\sqrt{xy}\le \dfrac{x+y}{2}.
Com x+y=50 obtemos \sqrt{xy}\le 25, então xy\le 625, com igualdade quando x=y=25.
Ambos confirmam que os números que maximizam o produto são 25 e 25.

Resposta

25 e 25

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