Encontre o ponto de interseção das curvas F_{1}(t)=\left(t, 1-t, 3+t^{2}\right) e F_{2}(t)=\left(3-t, t-2, t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas paramétricas em \mathbb{R}^3:
F_{1}(s) = \bigl(s,\;1 - s,\;3 + s^{2}\bigr),
F_{2}(t) = \bigl(3 - t,\;t - 2,\;t^{2}\bigr),
e pede o ponto onde elas se intersectam. O conteúdo aqui é interseção de curvas paramétricas: basta igualar as coordenadas e resolver o sistema para s e t.

Passo 2

Igualando as três coordenadas de F_{1}(s) e F_{2}(t), obtemos o sistema
\begin{cases} s = 3 - t,\\\\ 1 - s = t - 2,\\\\ 3 + s^{2} = t^{2}. \end{cases}

Passo 3

Usando s = 3 - t na segunda equação:
1 - (3 - t) = t - 2 \;\Longrightarrow\;-2 + t = t - 2,
que é uma identidade. Ou seja, essa equação não traz nova informação além de s = 3 - t.

Passo 4

Substituindo s = 3 - t na terceira equação:
3 + (3 - t)^{2} = t^{2} \;\Longrightarrow\;3 + 9 - 6t + t^{2} = t^{2} \;\Longrightarrow\;12 - 6t = 0 \;\Longrightarrow\;t = 2.

Passo 5

Com t = 2 temos s = 3 - 2 = 1. O ponto de interseção é
F_{1}(1) = \bigl(1,\;1 - 1,\;3 + 1^{2}\bigr) = (1,\,0,\,4).

Resposta

O ponto de interseção é (1,\,0,\,4).

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