Encontre o ponto de interseção das curvas F_{1}(t)=\left(t, 1-t, 3+t^{2}\right) e F_{2}(t)=\left(3-t, t-2, t^{2}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas paramétricas em \mathbb{R}^3:
F_{1}(s) = \bigl(s,\;1 - s,\;3 + s^{2}\bigr),
F_{2}(t) = \bigl(3 - t,\;t - 2,\;t^{2}\bigr),
e pede o ponto onde elas se intersectam. O conteúdo aqui é interseção de curvas paramétricas: basta igualar as coordenadas e resolver o sistema para s e t.
Passo 2
Igualando as três coordenadas de F_{1}(s) e F_{2}(t), obtemos o sistema
\begin{cases} s = 3 - t,\\\\ 1 - s = t - 2,\\\\ 3 + s^{2} = t^{2}. \end{cases}
Passo 3
Usando s = 3 - t na segunda equação:
1 - (3 - t) = t - 2 \;\Longrightarrow\;-2 + t = t - 2,
que é uma identidade. Ou seja, essa equação não traz nova informação além de s = 3 - t.