Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{4}+2 y^{2}-4 x y+7;

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
A função dada é f(x,y)=x^{4}+2y^{2}-4xy+7.\n
O que o enunciado pede: encontrar os pontos críticos de f e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
  • A expressão explícita de f(x,y).\n
  • Não há restrições no domínio, logo consideramos todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.\n

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achá-lo (explicação didática):\n
Um ponto crítico de f é um ponto onde as derivadas parciais são ambas zero (ou onde alguma delas não existe). Aqui as derivadas existem para todo (x,y), então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam.\n
Como calcular as derivadas parciais: a derivada parcial f_{x} é a taxa de variação de f quando só x varia e y é mantido fixo; similarmente f_{y} é a taxa de variação quando só y varia.\n

Passo 3

Calcule as derivadas parciais primeiras:\n
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}+2y^{2}-4xy+7\bigr)=4x^{3}-4y\n
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}+2y^{2}-4xy+7\bigr)=4y-4x\n
Explicação breve: derivamos termo a termo; x^{4} 4x^{3}, 2y^{2} é constante em relação a x e some em f_{x}, o termo -4xy visto como função de x com y constante dá -4y, e a constante 7 some. Para f_{y} procedemos analogamente.\n

Passo 4

Forme o sistema para pontos críticos e resolva:\n
Procuramos resolver
\begin{cases} f_{x}(x,y)=0\\[4pt] f_{y}(x,y)=0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 4x^{3}-4y=0\\[4pt] 4y-4x=0 \end{cases}\n
Simplificando os fatores 4\) (podemos dividir por \(4\) sem perder soluções): \[\begin{cases} x^{3}-y=0\\[4pt] y-x=0 \end{cases}\n
Da segunda equação temos y=x\].\n Substituindo na primeira obtenho \[x^{3}-x=0.\]\n Fatorando: \[x(x^{2}-1)=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0.\]\n Portanto as soluções para \(x são x=0, x=1 e x=-1.\n
Como y=x, os pontos críticos são (0,0), (1,1) e (-1,-1).\n]

Passo 5

Como classificamos os pontos críticos? (explicação didática do teste das segundas derivadas):\n
Construímos as segundas derivadas e a matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas e nos dá informação sobre a curvatura da função em torno do ponto.\n
Calcule as segundas derivadas:\n
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{3}-4y)=12x^{2}\n
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4y-4x)=4\n
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}-4y)=-4
(assim, f_{yx}= -4 também).\n
A Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^{2} & -4\\[4pt] -4 & 4 \end{pmatrix}.\n
O teste para funções de duas variáveis usa o determinante D da Hessiana em cada ponto crítico:
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.\n
As regras de classificação são:\n
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.\n
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.\n
  • Se D<0 então é ponto de sela.\n
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).\n]

Passo 6

Calcule D e classifique em cada ponto crítico.\n
O determinante geral é
D(x,y)=\bigl(12x^{2}\bigr)\cdot 4 - (-4)^{2}=48x^{2}-16=16\bigl(3x^{2}-1\bigr).\n
Agora avaliar em cada x dos pontos críticos (lembre que em cada ponto y=x):\n
  1. Para (0,0) (ou seja x=0):\n
D(0,0)=16\bigl(3\cdot 0^{2}-1\bigr)=16(-1)=-16<0.\n
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.\n
2) Para (1,1) (ou seja x=1):\n
D(1,1)=16\bigl(3\cdot 1^{2}-1\bigr)=16(3-1)=16\cdot 2=32>0.\n
Além disso
f_{xx}(1,1)=12\cdot 1^{2}=12>0.\n
Como D>0 e f_{xx}>0, (1,1) é um mínimo local.\n
3) Para (-1,-1) (ou seja x=-1):\n
D(-1,-1)=16\bigl(3\cdot (-1)^{2}-1\bigr)=16(3-1)=32>0,\n
e
f_{xx}(-1,-1)=12\cdot (-1)^{2}=12>0.\n
Logo D>0 e f_{xx}>0, portanto (-1,-1) também é um mínimo local.\n

Passo 7

(Bônus útil para a prova — valores da função nos pontos críticos)\n
Calcule f em cada ponto crítico para contexto (não necessário para a classificação, mas bom para interpretar):\n
f(0,0)=0^{4}+2\cdot 0^{2}-4\cdot 0\cdot 0+7=7.\n
f(1,1)=1^{4}+2\cdot 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1+7=1+2-4+7=6.\n
f(-1,-1)=(-1)^{4}+2\cdot (-1)^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-1)+7=1+2-4+7=6.\n
Observação intuitiva: os mínimos locais em (1,1) e (-1,-1) têm valor 6, menor que o valor 7 em (0,0), o que é coerente com a classificação de (0,0) como sela (há direções em que f aumenta e outras em que diminui).\n

Resposta

(0,0) — ponto de sela\n
(1,1) — mínimo local\n
(-1,-1) — mínimo local

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