Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
;
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
A função dada é .\n
O que o enunciado pede: encontrar os pontos críticos de e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
A função dada é
O que o enunciado pede: encontrar os pontos críticos de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
- A expressão explícita de
.\n - Não há restrições no domínio, logo consideramos todos os pontos
.\n
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achá-lo (explicação didática):\n
Um ponto crítico de é um ponto onde as derivadas parciais são ambas zero (ou onde alguma delas não existe). Aqui as derivadas existem para todo
, então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam.\n
Como calcular as derivadas parciais: a derivada parcial é a taxa de variação de
quando só
varia e
é mantido fixo; similarmente
é a taxa de variação quando só
varia.\n
Um ponto crítico de
Como calcular as derivadas parciais: a derivada parcial
Passo 3
Calcule as derivadas parciais primeiras:\n
Explicação breve: derivamos termo a termo;
dá
,
é constante em relação a
e some em
, o termo
visto como função de
com
constante dá
, e a constante
some. Para
procedemos analogamente.\n
Passo 4
Forme o sistema para pontos críticos e resolva:\n
Procuramos resolver
Procuramos resolver
Simplificando os fatores
\n
Da segunda equação temos
são
,
e
.\n
Como , os pontos críticos são
,
e
.\n]
Como
Passo 5
Como classificamos os pontos críticos? (explicação didática do teste das segundas derivadas):\n
Construímos as segundas derivadas e a matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas e nos dá informação sobre a curvatura da função em torno do ponto.\n
Calcule as segundas derivadas:\n
Construímos as segundas derivadas e a matriz Hessiana. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas e nos dá informação sobre a curvatura da função em torno do ponto.\n
Calcule as segundas derivadas:\n
(assim,
também).\n
A Hessiana é
A Hessiana é
O teste para funções de duas variáveis usa o determinante
da Hessiana em cada ponto crítico:
As regras de classificação são:\n
- Se
e então é mínimo local.\n - Se
e então é máximo local.\n - Se
então é ponto de sela.\n - Se
o teste é inconclusivo (não ocorre aqui).\n]
Passo 6
Calcule
e classifique em cada ponto crítico.\n
O determinante geral é
O determinante geral é
Agora avaliar em cada
dos pontos críticos (lembre que em cada ponto
):\n
- Para
(ou seja ):\n
Como
,
é um ponto de sela.\n
2) Para (ou seja
):\n
2) Para
Além disso
Como
e
,
é um mínimo local.\n
3) Para (ou seja
):\n
3) Para
e
Logo
e
, portanto
também é um mínimo local.\n
Passo 7
(Bônus útil para a prova — valores da função nos pontos críticos)\n
Calcule em cada ponto crítico para contexto (não necessário para a classificação, mas bom para interpretar):\n
Calcule
Observação intuitiva: os mínimos locais em
e
têm valor
, menor que o valor
em
, o que é coerente com a classificação de
como sela (há direções em que
aumenta e outras em que diminui).\n