Seja
a superfície definida pela equação
.
(a) Determine os pontos de
cujos planos tangentes contém o ponto
.
(b) Determine os pontos de
cujos planos tangentes contém o eixo
. Dê as equações destes planos.
(a) Determine os pontos de
(b) Determine os pontos de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
pela equação
Ele pede duas coisas separadas:
(a) Determinar os pontos de cujos planos tangentes contêm o ponto
.
(b) Determinar os pontos de cujos planos tangentes contêm o eixo
. Além disso, dar as equações desses planos tangentes.
(a) Determinar os pontos de
(b) Determinar os pontos de
As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são: a equação implícita de
e os pontos/retas que devem ficar contidos nos planos tangentes (o ponto
no item (a) e o eixo
no item (b)). Não há outra figura ou tabela.
Passo 2
Vamos usar a ideia padrão para superfícies definidas implicitamente: se uma superfície é dada como nível de uma função
, ou seja,
então o vetor gradiente
no ponto
é normal ao plano tangente em
. Assim, a equação do plano tangente em
é
Aqui
significa as derivadas parciais de
; a expressão
é o produto escalar usual e
é um ponto genérico do plano. Sempre que eu usar
, estou me referindo ao vetor normal do plano tangente em
.
Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): perto de
a superfície pode ser aproximada por um plano; o gradiente aponta na direção de maior variação de
e é ortogonal às curvas de nível de
, portanto é normal ao plano tangente da superfície nível.
Passo 3
Escrevemos
como nível da função
logo
.
Calculamos as derivadas parciais:
Portanto o gradiente é
A equação do plano tangente em
é
Podemos dividir por
para ficar mais simples:
Passo 4
Resolvendo (a): queremos que o plano tangente em
contenha o ponto
. Isso significa que, ao substituir
na equação do plano tangente, a igualdade deve ser satisfeita. Substituindo:
Isto é
Rearranjando,
Passo 5
Agora usamos que
pertence a
, então satisfa z a equação da superfície:
Substituindo essa expressão na condição do Passo 4 obtemos
Fatorando
(que nunca é zero, pois a exponencial é sempre positiva),
Como
para todo
, segue que
Então todos os pontos
cujos planos tangentes contêm
têm coordenada
. Usando a equação da superfície, para
temos
Portanto esses pontos formam o círculo de centro no eixo
com raio
no plano
.
Passo 6
Resolvendo (b): queremos pontos
tais que o plano tangente em
contenha o eixo
. Observação geométrica importante (explicada de forma simples): o eixo
é a reta
. Se um plano contém toda essa reta, então em particular contém o ponto
(origem) e a direção da reta, dada pelo vetor
. Assim qualquer plano que contenha o eixo
deve conter a origem (o que já nos relaciona com o item (a)) e deve ter o vetor
pertencente ao próprio plano.
Para um plano definido por normal
, afirmar que o vetor
pertence ao plano é equivalente a exigir que
. Usando
, obtemos
Passo 7
Juntando com o resultado do item (a): para que o plano tangente contenha o eixo
é necessário que o plano contenha a origem, logo devemos ter
(do Passo 5), e também devemos ter
(do Passo 6). Substituindo em
obtemos
Assim há exatamente dois pontos de
cujos planos tangentes contêm o eixo
:
Passo 8
Agora escrevemos explicitamente as equações desses planos tangentes. Use a fórmula do Passo 3 com
,
e
. Lembrando que
, a equação (dividida por 2) é
Isso simplifica, usando
, para
Para
obtemos
Para
obtemos
Podemos checar rapidamente: essas retas-planos passam pela origem e são ortogonais ao vetor normal
, portanto contêm o eixo
como requerido.
Resposta
(a)
(b) Pontos: e
. Equações dos planos:
(para
) e
(para
).
(b) Pontos: