Seja S a superfície definida pela equação x^{2}+z^{2}=e^{-2 y}.
(a) Determine os pontos de S cujos planos tangentes contém o ponto (0,0,0).
(b) Determine os pontos de S cujos planos tangentes contém o eixo x. Dê as equações destes planos.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S pela equação
x^{2}+z^{2}=e^{-2y}.
Ele pede duas coisas separadas:
(a) Determinar os pontos de S cujos planos tangentes contêm o ponto (0,0,0).
(b) Determinar os pontos de S cujos planos tangentes contêm o eixo x. Além disso, dar as equações desses planos tangentes.
As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são: a equação implícita de S e os pontos/retas que devem ficar contidos nos planos tangentes (o ponto (0,0,0) no item (a) e o eixo x no item (b)). Não há outra figura ou tabela.

Passo 2

Vamos usar a ideia padrão para superfícies definidas implicitamente: se uma superfície é dada como nível de uma função F(x,y,z), ou seja,
F(x,y,z)=0,
então o vetor gradiente \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) no ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}) é normal ao plano tangente em P. Assim, a equação do plano tangente em P é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\big((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\big)=0.
Aqui \nabla F=(F_x,F_y,F_z) significa as derivadas parciais de F; a expressão \cdot é o produto escalar usual e (x,y,z) é um ponto genérico do plano. Sempre que eu usar \nabla F(P), estou me referindo ao vetor normal do plano tangente em P.
Por que isso funciona (explicação curta e intuitiva): perto de P a superfície pode ser aproximada por um plano; o gradiente aponta na direção de maior variação de F e é ortogonal às curvas de nível de F, portanto é normal ao plano tangente da superfície nível.

Passo 3

Escrevemos S como nível da função
F(x,y,z)=x^{2}+z^{2}-e^{-2y},
logo S=\{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\}.
Calculamos as derivadas parciais:
F_x=2x,\qquad F_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-2y}\big)=2e^{-2y},\qquad F_z=2z.
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(2x,\;2e^{-2y},\;2z).
A equação do plano tangente em P=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
2x_{0}(x-x_{0})+2e^{-2y_{0}}(y-y_{0})+2z_{0}(z-z_{0})=0.
Podemos dividir por 2 para ficar mais simples:
x_{0}(x-x_{0})+e^{-2y_{0}}(y-y_{0})+z_{0}(z-z_{0})=0.

Passo 4

Resolvendo (a): queremos que o plano tangente em P=(x_{0},y_{0},z_{0}) contenha o ponto (0,0,0). Isso significa que, ao substituir (x,y,z)=(0,0,0) na equação do plano tangente, a igualdade deve ser satisfeita. Substituindo:
x_{0}(0-x_{0})+e^{-2y_{0}}(0-y_{0})+z_{0}(0-z_{0})=0.
Isto é
- x_{0}^{2} - e^{-2y_{0}}y_{0} - z_{0}^{2}=0.
Rearranjando,
x_{0}^{2}+z_{0}^{2}+e^{-2y_{0}}y_{0}=0.

Passo 5

Agora usamos que P pertence a S, então satisfa z a equação da superfície:
x_{0}^{2}+z_{0}^{2}=e^{-2y_{0}}.
Substituindo essa expressão na condição do Passo 4 obtemos
e^{-2y_{0}} + e^{-2y_{0}}y_{0}=0.
Fatorando e^{-2y_{0}} (que nunca é zero, pois a exponencial é sempre positiva),
e^{-2y_{0}}(1+y_{0})=0.
Como e^{-2y_{0}}>0 para todo y_{0}, segue que
1+y_{0}=0 \quad\Rightarrow\quad y_{0}=-1.
Então todos os pontos P\in S cujos planos tangentes contêm (0,0,0) têm coordenada y=-1. Usando a equação da superfície, para y=-1 temos
x_{0}^{2}+z_{0}^{2}=e^{-2(-1)}=e^{2}.
Portanto esses pontos formam o círculo de centro no eixo y com raio e no plano y=-1.

Passo 6

Resolvendo (b): queremos pontos P=(x_{0},y_{0},z_{0})\in S tais que o plano tangente em P contenha o eixo x. Observação geométrica importante (explicada de forma simples): o eixo x é a reta \{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}. Se um plano contém toda essa reta, então em particular contém o ponto (0,0,0) (origem) e a direção da reta, dada pelo vetor (1,0,0). Assim qualquer plano que contenha o eixo x deve conter a origem (o que já nos relaciona com o item (a)) e deve ter o vetor (1,0,0) pertencente ao próprio plano.
Para um plano definido por normal \nabla F(P), afirmar que o vetor (1,0,0) pertence ao plano é equivalente a exigir que \nabla F(P)\cdot(1,0,0)=0. Usando \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})=(2x_{0},2e^{-2y_{0}},2z_{0}), obtemos
\nabla F(P)\cdot(1,0,0)=2x_{0}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{0}=0.

Passo 7

Juntando com o resultado do item (a): para que o plano tangente contenha o eixo x é necessário que o plano contenha a origem, logo devemos ter y_{0}=-1 (do Passo 5), e também devemos ter x_{0}=0 (do Passo 6). Substituindo em S obtemos
0^{2}+z_{0}^{2}=e^{-2(-1)}=e^{2}\quad\Rightarrow\quad z_{0}=\pm e.
Assim há exatamente dois pontos de S cujos planos tangentes contêm o eixo x:
(0,-1,e)\quad\text{e}\quad(0,-1,-e).

Passo 8

Agora escrevemos explicitamente as equações desses planos tangentes. Use a fórmula do Passo 3 com x_{0}=0, y_{0}=-1 e z_{0}=\pm e. Lembrando que e^{-2y_{0}}=e^{-2(-1)}=e^{2}, a equação (dividida por 2) é
0\cdot(x-0)+e^{2}(y+1)+z_{0}(z-z_{0})=0.
Isso simplifica, usando z_{0}^{2}=e^{2}, para
e^{2}y+z_{0}z=0.
Para z_{0}=e obtemos
e^{2}y+e z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=-e y.
Para z_{0}=-e obtemos
e^{2}y - e z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=e y.
Podemos checar rapidamente: essas retas-planos passam pela origem e são ortogonais ao vetor normal (0,e^{2},z_{0}), portanto contêm o eixo x como requerido.

Resposta

(a) \{(x,y,z)\in S \mid y=-1,\; x^{2}+z^{2}=e^{2}\}.
(b) Pontos: (0,-1,e) e (0,-1,-e). Equações dos planos: z=-e\,y (para (0,-1,e)) e z=e\,y (para (0,-1,-e)).

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