Considere a curva C de interseção das superfícies de equação y^{2}-z^{2}=3 e x y+x z=-1.
(a) Ache uma parametrização da reta tangente a C no ponto (1,-2,1).
(b) Determine os pontos do hiperbolóide x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0 onde o plano tangente é perpendicular à reta encontrada no item (a).

Passo 1

O enunciado dá a curva C como interseção de duas superfícies:
y^{2}-z^{2}=3
e
x y+x z=-1.
Pede dois itens:
(a) uma parametrização da reta tangente a C no ponto (1,-2,1);
(b) os pontos do hiperbolóide
x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0
onde o plano tangente é perpendicular à reta do item (a).
Informações relevantes fornecidas (tudo em TeX):
\text{o ponto dado: }(1,-2,1).
Verificação rápida (apenas para garantir que o ponto pertence às superfícies):
(-2)^{2}-1^{2}=4-1=3\quad\text{e}\quad 1\cdot(-2)+1\cdot1=-1,
logo o ponto está na curva C. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Se uma superfície é dada por uma equação F(x,y,z)=0, então o vetor gradiente \nabla F=(F_x,F_y,F_z) é um vetor normal à superfície em cada ponto. Vou usar isso para encontrar as normais das duas superfícies que geram C.
    Definimos duas funções cujo nível zero são as superfícies:
F_1(x,y,z)=y^{2}-z^{2}-3,
F_2(x,y,z)=x y + x z +1.
Calculo as derivadas parciais (cada componente do gradiente):
\nabla F_1=(F_{1x},F_{1y},F_{1z})=(0,\,2y,\,-2z),
\nabla F_2=(F_{2x},F_{2y},F_{2z})=(y+z,\,x,\,x).
Agora avalio as normais no ponto dado (1,-2,1). Substituindo (x,y,z)=(1,-2,1):
\nabla F_1(1,-2,1)=(0,\;2(-2),\;-2(1))=(0,-4,-2),
\nabla F_2(1,-2,1)=((-2)+1,\;1,\;1)=(-1,1,1).

Passo 3

Como a curva C é interseção das duas superfícies, no ponto estudado a reta tangente a C é ortogonal a ambas as normais \nabla F_1 e \nabla F_2. Um vetor que é ortogonal a dois vetores dados é dado pelo produto vetorial (cross product). Então a direção da reta tangente vale
v=\nabla F_1(1,-2,1)\times\nabla F_2(1,-2,1).
Vou calcular o produto vetorial passo a passo usando a regra do determinante:
\nabla F_1(1,-2,1)=(0,-4,-2),\qquad \nabla F_2(1,-2,1)=(-1,1,1).
v=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & -4 & -2\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
Calculando componentes (mostro cada menor):
  • componente i: (-4)\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = -4 - (-2) = -2,
  • componente j: 0\cdot 1 - (-2)\cdot(-1) = 0 - 2 = -2, lembra-se que no produto vetorial a componente j recebe sinal negativo, então fica -(-2)=2 (vou organizar abaixo),
  • componente k: 0\cdot 1 - (-4)\cdot(-1) = 0 - 4 = -4.
Montando com os sinais corretos:
v = (-2,\;2,\;4).
Podemos simplificar dividindo por 2:
v = (-1,\;1,\;2).
Qualquer múltiplo de v serve como direção. Assim a reta tangente em (1,-2,1) tem parametrização (escolho parâmetro t):
\textbf{r}(t) = (1,-2,1) + t(-1,1,2).
Escrevendo coordenada a coordenada:
x=1-t,\qquad y=-2+t,\qquad z=1+2t.
Isso resolve o item (a).]

Passo 4

Para o item (b) precisamos achar pontos do hiperbolóide
G(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0
onde o plano tangente é perpendicular à reta do item (a). Conceito usado aqui:
  • O plano tangente a uma superfície G(x,y,z)=0 em um ponto tem normal \nabla G=(G_x,G_y,G_z).
  • Um plano é perpendicular a uma reta quando a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Ou seja, se v é direção da reta e \nabla G(p) é normal do plano no ponto p, então deve existir \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla G(p)=\lambda v.
Calculamos o gradiente de G:
\nabla G=(2x,\,2y,\,-2z).
A condição de paralelismo com v=(-1,1,2) é
(2x,2y,-2z)=\lambda(-1,1,2).
Isso dá três equações escalares que relacionam x,y,z com \lambda:
2x=-\lambda,\qquad 2y=\lambda,\qquad -2z=2\lambda.
Resolvo cada uma para x,y,z em função de \lambda:
x=-\frac{\lambda}{2},\qquad y=\frac{\lambda}{2},\qquad z=-\lambda.

Passo 5

Agora uso que o ponto deve pertencer ao hiperbolóide, então substituo x,y,z em função de \lambda na equação G=0:
Substituição:
\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\lambda}{2}\right)^{2} - (-\lambda)^{2} +12 =0.
Calculo termo a termo:
\frac{\lambda^{2}}{4} + \frac{\lambda^{2}}{4} - \lambda^{2} +12 = 0.
Somando os dois primeiros termos:
\frac{\lambda^{2}}{2} - \lambda^{2} +12 = 0.
-\frac{\lambda^{2}}{2} +12 = 0.
\frac{\lambda^{2}}{2} = 12 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=24.
\lambda = \pm 2\sqrt{6}.
Agora obtenho os pontos correspondentes para cada sinal.
Para \lambda = 2\sqrt{6}:
x=-\frac{\lambda}{2}=-\sqrt{6},\qquad y=\frac{\lambda}{2}=\sqrt{6},\qquad z=-\lambda=-2\sqrt{6}.
Para \lambda = -2\sqrt{6}:
x=-\frac{\lambda}{2}= \sqrt{6},\qquad y=\frac{\lambda}{2}=-\sqrt{6},\qquad z=-\lambda=2\sqrt{6}.
Posso checar rapidamente que esses pontos satisfazem G=0 (opcional): por simetria e pelo cálculo de \lambda eles deverão satisfazer a equação.

Resposta

(a) Parametrização da reta tangente:
\textbf{r}(t)=(1,-2,1)+t(-1,1,2),
ou coordenada a coordenada \;x=1-t,\;y=-2+t,\;z=1+2t.
(b) Pontos do hiperbolóide onde o plano tangente é perpendicular à reta do item (a):
(-\sqrt{6},\;\sqrt{6},\;-2\sqrt{6})
(\sqrt{6},\;-\sqrt{6},\;2\sqrt{6})

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