Considere a curva C de interseção das superfícies de equação y^{2}-z^{2}=3 e x y+x z=-1.
(a) Ache uma parametrização da reta tangente a C no ponto (1,-2,1).
(b) Determine os pontos do hiperbolóide x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0 onde o plano tangente é perpendicular à reta encontrada no item (a).
Passo 1
O enunciado dá a curva C como interseção de duas superfícies:
y^{2}-z^{2}=3
e
x y+x z=-1.
Pede dois itens:
(a) uma parametrização da reta tangente a C no ponto (1,-2,1);
(b) os pontos do hiperbolóide
x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0
onde o plano tangente é perpendicular à reta do item (a).
Informações relevantes fornecidas (tudo em TeX):
\text{o ponto dado: }(1,-2,1).
Verificação rápida (apenas para garantir que o ponto pertence às superfícies):
logo o ponto está na curva C. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula rápida e prática):
Se uma superfície é dada por uma equação F(x,y,z)=0, então o vetor gradiente \nabla F=(F_x,F_y,F_z) é um vetor normal à superfície em cada ponto. Vou usar isso para encontrar as normais das duas superfícies que geram C.
Definimos duas funções cujo nível zero são as superfícies:
F_1(x,y,z)=y^{2}-z^{2}-3,
F_2(x,y,z)=x y + x z +1.
Calculo as derivadas parciais (cada componente do gradiente):
\nabla F_1=(F_{1x},F_{1y},F_{1z})=(0,\,2y,\,-2z),
\nabla F_2=(F_{2x},F_{2y},F_{2z})=(y+z,\,x,\,x).
Agora avalio as normais no ponto dado (1,-2,1). Substituindo (x,y,z)=(1,-2,1):
\nabla F_1(1,-2,1)=(0,\;2(-2),\;-2(1))=(0,-4,-2),
\nabla F_2(1,-2,1)=((-2)+1,\;1,\;1)=(-1,1,1).
Passo 3
Como a curva C é interseção das duas superfícies, no ponto estudado a reta tangente a C é ortogonal a ambas as normais \nabla F_1 e \nabla F_2. Um vetor que é ortogonal a dois vetores dados é dado pelo produto vetorial (cross product). Então a direção da reta tangente vale
v=\nabla F_1(1,-2,1)\times\nabla F_2(1,-2,1).
Vou calcular o produto vetorial passo a passo usando a regra do determinante:
Qualquer múltiplo de v serve como direção. Assim a reta tangente em (1,-2,1) tem parametrização (escolho parâmetro t):
\textbf{r}(t) = (1,-2,1) + t(-1,1,2).
Escrevendo coordenada a coordenada:
x=1-t,\qquad y=-2+t,\qquad z=1+2t.
Isso resolve o item (a).]
Passo 4
Para o item (b) precisamos achar pontos do hiperbolóide
G(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+12=0
onde o plano tangente é perpendicular à reta do item (a). Conceito usado aqui:
O plano tangente a uma superfície G(x,y,z)=0 em um ponto tem normal \nabla G=(G_x,G_y,G_z).
Um plano é perpendicular a uma reta quando a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Ou seja, se v é direção da reta e \nabla G(p) é normal do plano no ponto p, então deve existir \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla G(p)=\lambda v.
Calculamos o gradiente de G:
\nabla G=(2x,\,2y,\,-2z).
A condição de paralelismo com v=(-1,1,2) é
(2x,2y,-2z)=\lambda(-1,1,2).
Isso dá três equações escalares que relacionam x,y,z com \lambda: