Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Informações dadas:
com
.
Portanto precisamos (1) achar onde o gradiente de é nulo e (2) usar um teste (segunda derivada / Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Informações dadas:
Portanto precisamos (1) achar onde o gradiente de
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais. Vou explicar devagar o que é e como calcular: derivada parcial em relação a
é a derivada de
ao variar
mantendo
fixo; análogo para a parcial em
. A derivada de
é
, então:
Observação didática: a parte
derivada em relação a
dá
. Tudo em TeX e certinho.
Passo 3
Pontos críticos ocorrem quando o gradiente é o vetor nulo, isto é quando ambas as parciais são zero simultaneamente:
Resolvendo
dá
para inteiro
. Como
(intervalo aberto), os únicos valores possíveis dentro desse intervalo são
Logo o único ponto crítico no domínio dado é
.
Passo 4
Agora precisamos classificar
. Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Definimos as segundas derivadas parciais:
O teste diz: calcule
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Explicação curta e intuitiva:
é o determinante da Hessiana; ele mede se as curvaturas nas direções coordenadas concorrem (mesmo sinal) ou se têm sinais opostos (sela).
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas explicitamente. Diferenciando as parciais:
(sendo
separável em
e
, não há termo misto).
Agora avaliamos em
. Sabemos
, então
Portanto
Como
, pela regra do teste das segundas derivadas o ponto
é um ponto de sela.
Passo 6
Intuição rápida para fixar: olhando para
, ao variar só
(com
fixo) a função tem comportamento de
, que tem mínimo em
; ao variar só
(com
fixo) a função tem comportamento de
, que tem máximo em
. Portanto numa direção a função fica como mínimo e na outra como máximo — combinação típica de sela. Dica prática: para funções da forma
os pontos críticos vêm de
e
.