Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
f(x, y)=\cos x-\cos y, x, y \in(0,2 \pi);

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função f e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Informações dadas:
f(x,y)=\cos x-\cos y com x,y\in(0,2\pi).
Portanto precisamos (1) achar onde o gradiente de f é nulo e (2) usar um teste (segunda derivada / Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais. Vou explicar devagar o que é e como calcular: derivada parcial em relação a x é a derivada de f ao variar x mantendo y fixo; análogo para a parcial em y. A derivada de \cos é -\sin, então:
\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin x
\frac{\partial f}{\partial y} = -\bigl(-\sin y\bigr)=\sin y
Observação didática: a parte -\cos y derivada em relação a y -(-\sin y)=\sin y. Tudo em TeX e certinho.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem quando o gradiente é o vetor nulo, isto é quando ambas as parciais são zero simultaneamente:
-\sin x = 0\qquad\text{e}\qquad \sin y = 0.
Resolvendo \sin t = 0 t = k\pi para inteiro k. Como x,y\in(0,2\pi) (intervalo aberto), os únicos valores possíveis dentro desse intervalo são
x=\pi\qquad\text{e}\qquad y=\pi.
Logo o único ponto crítico no domínio dado é (\pi,\pi).

Passo 4

Agora precisamos classificar (\pi,\pi). Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Definimos as segundas derivadas parciais:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
O teste diz: calcule
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Explicação curta e intuitiva: D é o determinante da Hessiana; ele mede se as curvaturas nas direções coordenadas concorrem (mesmo sinal) ou se têm sinais opostos (sela).

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas explicitamente. Diferenciando as parciais:
f_{xx} = -\cos x,
f_{yy} = \cos y,
f_{xy} = 0
(sendo f separável em x e y, não há termo misto).
Agora avaliamos em (\pi,\pi). Sabemos \cos\pi = -1, então
f_{xx}(\pi,\pi) = -\cos\pi = -(-1)=1,
f_{yy}(\pi,\pi) = \cos\pi = -1,
f_{xy}(\pi,\pi)=0.
Portanto
D(\pi,\pi) = f_{xx}(\pi,\pi)\,f_{yy}(\pi,\pi) - \bigl(f_{xy}(\pi,\pi)\bigr)^2 = 1\cdot(-1)-0 = -1 < 0.
Como D<0, pela regra do teste das segundas derivadas o ponto (\pi,\pi) é um ponto de sela.

Passo 6

Intuição rápida para fixar: olhando para f(x,y)=\cos x-\cos y, ao variar só x (com y fixo) a função tem comportamento de \cos x, que tem mínimo em x=\pi; ao variar só y (com x fixo) a função tem comportamento de -\cos y, que tem máximo em y=\pi. Portanto numa direção a função fica como mínimo e na outra como máximo — combinação típica de sela. Dica prática: para funções da forma g(x)-h(y) os pontos críticos vêm de g'(x)=0 e h'(y)=0.

Resposta

(\pi,\pi) — ponto de sela.

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