Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos de
e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. A função dada é
Informações importantes do enunciado:
- A função é de duas variáveis,
e . - Precisamos achar todos os pontos onde o gradiente é zero (esses são os pontos críticos).
- Depois, devemos classificar cada ponto crítico usando derivadas segundas (matriz Hessiana / teste de segunda derivada).
Nada mais é dado; vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Explico rapidinho o conceito:
- O gradiente
reúne as derivadas parciais em cada direção: . - Pontos críticos são pontos onde
.
Calculemos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é a derivada tratando
como constante:
A derivada parcial em relação a
A derivada parcial em relação a
é a derivada tratando
como constante:
Passo 3
Agora impomos as condições de ponto crítico, ou seja:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação temos:
Substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Fatoramos
:
Logo as soluções para
são:
Resolver
. Note que
, então
pois
.
Agora obtemos usando
:
Agora obtemos
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Agora vamos classificar os pontos críticos usando as derivadas segundas. Explico o teste:
- A matriz Hessiana é
onde
é a derivada segunda em
,
em
e
são as mistas.
- Para funções de duas variáveis, define‑se o discriminante
Regra de classificação (teste de segunda derivada):
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então há ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas da nossa função:
Assim a Hessiana é
E o discriminante geral é
Passo 5
Classificamos cada ponto crítico avaliando
e
nesses pontos.
Primeiro, no ponto
:
Como
, pelo teste,
é um ponto de sela. (Comentário intuitivo: curvatura em direções diferentes tem sinais opostos.)
Passo 6
Agora nos pontos
.
Para temos, como observado antes,
Para
Logo:
Como
e
, pelo teste a função tem mínimo local em cada um desses pontos. Note que o sinal de
não importa para
, por isso ambos os pontos (o positivo e o negativo) dão a mesma classificação: mínimo local.
Passo 7
Resumo final das classificações obtidas:
-
é ponto de sela porque . -
é mínimo local porque e . -
é mínimo local porque e .
Você mandou bem vindo até aqui — é normal o teste envolver esses cálculos e é ótimo que você pediu a resolução passo a passo. Se quiser, eu calculo também os valores de
nesses pontos para ver a altura dos mínimos; é útil às vezes pra interpretar o gráfico.