Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
f(x, y)=x^{10}+5 y^{2}-100 x y+45;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos de f e classificá‑los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. A função dada é
f(x,y)=x^{10}+5y^{2}-100xy+45.
Informações importantes do enunciado:
  • A função é de duas variáveis, x e y.
  • Precisamos achar todos os pontos onde o gradiente é zero (esses são os pontos críticos).
  • Depois, devemos classificar cada ponto crítico usando derivadas segundas (matriz Hessiana / teste de segunda derivada).
    Nada mais é dado; vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Explico rapidinho o conceito:
  • O gradiente \nabla f reúne as derivadas parciais em cada direção: \nabla f=(f_x,f_y).
  • Pontos críticos são pontos onde \nabla f=(0,0).
Calculemos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é a derivada tratando y como constante:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{10}+5y^{2}-100xy+45\big)=10x^{9}-100y.
A derivada parcial em relação a y é a derivada tratando x como constante:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{10}+5y^{2}-100xy+45\big)=10y-100x.

Passo 3

Agora impomos as condições de ponto crítico, ou seja:
\begin{cases} 10x^{9}-100y=0,\\[4pt] 10y-100x=0. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da segunda equação temos:
10y-100x=0 \implies 10y=100x \implies y=10x.
Substituímos y=10x na primeira equação:
10x^{9}-100(10x)=0.
Simplificando:
10x^{9}-1000x=0.
Fatoramos 10x:
10x\big(x^{8}-100\big)=0.
Logo as soluções para x são:
x=0 \quad\text{ou}\quad x^{8}=100.
Resolver x^{8}=100. Note que 100=10^{2}, então
x^{8}=10^{2} \implies x= \pm 10^{\tfrac{1}{4}},
pois (10^{1/4})^{8}=10^{8/4}=10^{2}=100.
Agora obtemos y usando y=10x:
  • Se x=0, então y=0.
  • Se x=10^{1/4}, então y=10\cdot 10^{1/4}=10^{5/4}.
  • Se x=-10^{1/4}, então y=-10^{5/4}.
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\qquad \bigl(10^{1/4},\,10^{5/4}\bigr),\qquad \bigl(-10^{1/4},\,-10^{5/4}\bigr).]

Passo 4

Agora vamos classificar os pontos críticos usando as derivadas segundas. Explico o teste:
  • A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx} é a derivada segunda em x, f_{yy} em y e f_{xy}=f_{yx} são as mistas.
  • Para funções de duas variáveis, define‑se o discriminante
D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
Regra de classificação (teste de segunda derivada):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então há ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas da nossa função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(10x^{9}-100y)=90x^{8},
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(10x^{9}-100y)=-100,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(10y-100x)=10.
Assim a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix}90x^{8} & -100\\[4pt]-100 & 10\end{pmatrix}.
E o discriminante geral é
D(x,y)=90x^{8}\cdot 10 - (-100)^{2}=900x^{8}-10000.]

Passo 5

Classificamos cada ponto crítico avaliando f_{xx} e D nesses pontos.
Primeiro, no ponto (0,0):
  • f_{xx}(0,0)=90\cdot 0^{8}=0.
  • D(0,0)=900\cdot 0^{8}-10000=-10000<0.
Como D(0,0)<0, pelo teste, (0,0) é um ponto de sela. (Comentário intuitivo: curvatura em direções diferentes tem sinais opostos.)

Passo 6

Agora nos pontos \bigl(\pm 10^{1/4},\,\pm 10^{5/4}\bigr).
Para x=\pm 10^{1/4} temos, como observado antes,
x^{8}=\bigl(10^{1/4}\bigr)^{8}=10^{2}=100.
Logo:
  • f_{xx}=90x^{8}=90\cdot 100=9000>0.
  • D=900x^{8}-10000=900\cdot 100-10000=90000-10000=80000>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, pelo teste a função tem mínimo local em cada um desses pontos. Note que o sinal de x não importa para x^{8}, por isso ambos os pontos (o positivo e o negativo) dão a mesma classificação: mínimo local.

Passo 7

Resumo final das classificações obtidas:
  • (0,0) é ponto de sela porque D<0.
  • \bigl(10^{1/4},\,10^{5/4}\bigr) é mínimo local porque D>0 e f_{xx}>0.
  • \bigl(-10^{1/4},\,-10^{5/4}\bigr) é mínimo local porque D>0 e f_{xx}>0.
Você mandou bem vindo até aqui — é normal o teste envolver esses cálculos e é ótimo que você pediu a resolução passo a passo. Se quiser, eu calculo também os valores de f nesses pontos para ver a altura dos mínimos; é útil às vezes pra interpretar o gráfico.

Resposta

(0,0) — ponto de sela
\bigl(10^{1/4},\,10^{5/4}\bigr) — mínimo local
\bigl(-10^{1/4},\,-10^{5/4}\bigr) — mínimo local

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