Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
f(x, y)=\cos x-\cos y, x, y \in(0,2 \pi);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=\cos x-\cos y no domínio x,y\in(0,2\pi), e para classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
\;f(x,y)=\cos x-\cos y.
\;x e \;y variam em (0,2\pi) (intervalo aberto, então 0 e 2\pi não pertencem ao domínio).

Passo 2

O que é um ponto crítico? Um ponto (x_0,y_0) é crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor nulo ou se alguma derivada parcial não existir. O gradiente é o par de derivadas parciais
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembre que a derivada de \cos t em relação a t é -\sin t. Assim:
A derivada parcial em relação a x (tratando y como constante) é
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin x-0=-\sin x.
A derivada parcial em relação a y (tratando x como constante) é
\frac{\partial f}{\partial y}=0-\frac{d}{dy}(\cos y)= -(-\sin y)?\\ \text{Cuidado:}\\ \frac{d}{dy}(\cos y)=-\sin y,
portanto
\frac{\partial f}{\partial y}= -\bigl(-\sin y\bigr)=\sin y.
(Explicação curta: f=\cos x-\cos y. Derivando em y 0 - (-\sin y)=\sin y.)

Passo 3

Pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
-\sin x = 0,\qquad \sin y = 0.
A equação \sin t=0 tem soluções gerais t=k\pi com k\in\mathbb{Z}. No entanto, nosso domínio é (0,2\pi), ou seja, apenas valores estritamente entre 0 e 2\pi são permitidos. Entre esses, os valores de t que satisfazem \sin t=0 são somente t=\pi. (Os pontos t=0 e t=2\pi são soluções gerais, mas estão fora do nosso domínio.)
Logo:
x=\pi\quad\text{e}\quad y=\pi.
Portanto há exatamente um ponto crítico no domínio: (\pi,\pi).

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico. Usamos o teste da derivada segunda (Hessiano). Definimos as segundas derivadas parciais:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= \frac{d}{dx}\bigl(-\sin x\bigr)=-\cos x,
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}= \frac{d}{dy}\bigl(\sin y\bigr)=\cos y,
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin x\bigr)=0,
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin y\bigr)=0.
(Aqui \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0 porque -\sin x não depende de y.)
O Hessiano é a matriz
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\[4pt] \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\cos x & 0 \\[4pt] 0 & \cos y \end{pmatrix}.
Avaliando em (\pi,\pi): \cos\pi=-1. Logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\pi,\pi)=-\cos\pi=-(-1)=1,
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\pi,\pi)=\cos\pi=-1.
Portanto o Hessiano em (\pi,\pi) é
H_f(\pi,\pi)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicamos o critério dos determinantes (teste de segunda derivada em duas variáveis). Defina
D=\det(H_f(\pi,\pi))=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)-\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)^2.
No nosso caso
D=1\cdot(-1)-0^2=-1<0.
Quando D<0, o ponto crítico é um ponto de sela. A interpretação intuitiva: ao mover-se numa direção (por exemplo variar x mantendo y fixo) a função cresce (segundo derivada positiva em x), e ao mover-se noutra direção (variar y mantendo x fixo) a função decresce (segunda derivada negativa em y), por isso não é nem máximo nem mínimo local — é sela.
Podemos fazer um pequeno teste intuitivo usando séries: para x=\pi+\varepsilon, \cos(\pi+\varepsilon)\approx -1+\varepsilon^2/2; para y=\pi+\delta, \cos(\pi+\delta)\approx -1+\delta^2/2. Então
f(\pi+\varepsilon,\pi+\delta)=\cos(\pi+\varepsilon)-\cos(\pi+\delta)\approx(-1+\tfrac{\varepsilon^2}{2})-(-1+\tfrac{\delta^2}{2})=\tfrac{\varepsilon^2-\delta^2}{2}.
Dependendo de \varepsilon e \delta a expressão pode ser positiva ou negativa — comportamento típico de ponto de sela. Isso confirma a conclusão obtida pelo critério do Hessiano.

Resposta

(\pi,\pi) — ponto de sela

Exercícios relacionados