Encontre os pontos críticos, classificando-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. f(x, y)=\cos x-\cos y, x, y \in(0,2 \pi);
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=\cos x-\cos y no domínio x,y\in(0,2\pi), e para classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas: \;f(x,y)=\cos x-\cos y. \;x e \;y variam em (0,2\pi) (intervalo aberto, então 0 e 2\pi não pertencem ao domínio).
Passo 2
O que é um ponto crítico? Um ponto (x_0,y_0) é crítico se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor nulo ou se alguma derivada parcial não existir. O gradiente é o par de derivadas parciais
A derivada parcial em relação a y (tratando x como constante) é
\frac{\partial f}{\partial y}=0-\frac{d}{dy}(\cos y)= -(-\sin y)?\\ \text{Cuidado:}\\ \frac{d}{dy}(\cos y)=-\sin y,
portanto
\frac{\partial f}{\partial y}= -\bigl(-\sin y\bigr)=\sin y.
(Explicação curta: f=\cos x-\cos y. Derivando em y dá 0 - (-\sin y)=\sin y.)
Passo 3
Pontos críticos ocorrem quando ambas as derivadas parciais são zero simultaneamente:
-\sin x = 0,\qquad \sin y = 0.
A equação \sin t=0 tem soluções gerais t=k\pi com k\in\mathbb{Z}. No entanto, nosso domínio é (0,2\pi), ou seja, apenas valores estritamente entre 0 e 2\pi são permitidos. Entre esses, os valores de t que satisfazem \sin t=0 são somente t=\pi. (Os pontos t=0 e t=2\pi são soluções gerais, mas estão fora do nosso domínio.)
Logo:
x=\pi\quad\text{e}\quad y=\pi.
Portanto há exatamente um ponto crítico no domínio: (\pi,\pi).
Passo 4
Agora vamos classificar o ponto crítico. Usamos o teste da derivada segunda (Hessiano). Definimos as segundas derivadas parciais:
Quando D<0, o ponto crítico é um ponto de sela. A interpretação intuitiva: ao mover-se numa direção (por exemplo variar x mantendo y fixo) a função cresce (segundo derivada positiva em x), e ao mover-se noutra direção (variar y mantendo x fixo) a função decresce (segunda derivada negativa em y), por isso não é nem máximo nem mínimo local — é sela.
Podemos fazer um pequeno teste intuitivo usando séries: para x=\pi+\varepsilon, \cos(\pi+\varepsilon)\approx -1+\varepsilon^2/2; para y=\pi+\delta, \cos(\pi+\delta)\approx -1+\delta^2/2. Então
Dependendo de \varepsilon e \delta a expressão pode ser positiva ou negativa — comportamento típico de ponto de sela. Isso confirma a conclusão obtida pelo critério do Hessiano.