Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com \mathrm{x} \in(0,2 \pi).
f(x)=\operatorname{sen}(x) \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos de f no intervalo (0,2\pi) e que os classifique como máximo ou mínimo.
Informações dadas: \;f(x)=\sin(x)\cos(x) e o domínio considerado é o intervalo aberto (0,2\pi).
Definição importante (essencial para resolver): ponto crítico é qualquer x do domínio onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Aqui vamos procurar f'(x)=0 porque f é diferenciável em todo (0,2\pi).

Passo 2

Escolha do método: uma forma muito prática aqui é usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo para simplificar f antes de derivar. Isso evita contas longas com regra do produto. A identidade é obtida da fórmula da soma:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=b=x vem
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Portanto podemos reescrever f como
f(x)=\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Essa reescrita torna a derivada imediata usando a regra da cadeia.

Passo 3

Vou calcular f'(x) a partir de f(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x). Lembrete da regra da cadeia: se g(x)=\sin(u(x)) então g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aplicando aqui com u(x)=2x:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot \cos(2x)\cdot (2)=\cos(2x).
Observação rápida: se preferisse, poderia ter usado a regra do produto diretamente em \sin x\cos x; o resultado seria o mesmo.

Passo 4

Agora encontro os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, ou seja
\cos(2x)=0.
As soluções gerais de \cos(\theta)=0 são \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Tomando \theta=2x obtemos
2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora seleciono as soluções que caem no intervalo (0,2\pi). Para k=0,1,2,3 temos:
\begin{aligned} k=0 &\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4},\\\ k=1 &\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{3\pi}{4},\\\ k=2 &\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{5\pi}{4},\\\ k=3 &\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{7\pi}{4}. \end{aligned}
Para k=4 já temos x=\tfrac{9\pi}{4}>2\pi e para k<0 obtemos x\le 0. Logo os pontos críticos em (0,2\pi) são
x=\tfrac{\pi}{4},\\ \tfrac{3\pi}{4},\\ \tfrac{5\pi}{4},\\ \tfrac{7\pi}{4}.

Passo 5

Para classificar cada ponto como máximo ou mínimo uso o teste da segunda derivada. Primeiro calculo f''(x). A partir de f'(x)=\cos(2x) e usando derivada de cosseno mais regra da cadeia:
f''(x)=-\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).
Regra de classificação (segundo derivada): se f''(x_0)<0 então x_0 é máximo local; se f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local. (Se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.)

Passo 6

Avalio f'' em cada ponto crítico. Vou usar 2x para cada caso e o valor de \sin:
  • Para x=\tfrac{\pi}{4}: 2x=\tfrac{\pi}{2}, \sin(2x)=\sin\!\tfrac{\pi}{2}=1. Então
f''\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-2\cdot 1=-2<0,
portanto x=\tfrac{\pi}{4} é um máximo local.
  • Para x=\tfrac{3\pi}{4}: 2x=\tfrac{3\pi}{2}, \sin(2x)=\sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-1. Então
f''\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-2\cdot(-1)=2>0,
portanto x=\tfrac{3\pi}{4} é um mínimo local.
  • Para x=\tfrac{5\pi}{4}: 2x=\tfrac{5\pi}{2}. Como \sin\!\tfrac{5\pi}{2}=\sin\!\tfrac{\pi}{2}=1, vem
f''\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-2\cdot 1=-2<0,
portanto x=\tfrac{5\pi}{4} é um máximo local.
  • Para x=\tfrac{7\pi}{4}: 2x=\tfrac{7\pi}{2}. Como \sin\!\tfrac{7\pi}{2}=\sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-1, vem
f''\!\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr)=-2\cdot(-1)=2>0,
portanto x=\tfrac{7\pi}{4} é um mínimo local.

Passo 7

Como verificação rápida, posso também ver os valores de f nesses pontos usando f(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x):
\begin{aligned} f\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)&=\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{1}{2},\\\ f\!\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)&=\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-\tfrac{1}{2},\\\ f\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)&=\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{5\pi}{2}=\tfrac{1}{2},\\\ f\!\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr)&=\tfrac{1}{2}\sin\!\tfrac{7\pi}{2}=-\tfrac{1}{2}. \end{aligned}
Isso confirma que os pontos com f=+\tfrac{1}{2} são máximos locais e os com f=-\tfrac{1}{2} são mínimos locais.

Resposta

x=\tfrac{\pi}{4}: máximo local.
x=\tfrac{3\pi}{4}: mínimo local.
x=\tfrac{5\pi}{4}: máximo local.
x=\tfrac{7\pi}{4}: mínimo local.

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