Encontre os pontos críticos e classifique-os como: máximo ou mínimo com
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos de
no intervalo
e que os classifique como máximo ou mínimo.
Informações dadas: e o domínio considerado é o intervalo aberto
.
Definição importante (essencial para resolver): ponto crítico é qualquer do domínio onde
ou
não existe. Aqui vamos procurar
porque
é diferenciável em todo
.
Informações dadas:
Definição importante (essencial para resolver): ponto crítico é qualquer
Passo 2
Escolha do método: uma forma muito prática aqui é usar a identidade trigonométrica do ângulo duplo para simplificar
antes de derivar. Isso evita contas longas com regra do produto. A identidade é obtida da fórmula da soma:
Tomando
vem
Portanto podemos reescrever
como
Essa reescrita torna a derivada imediata usando a regra da cadeia.
Passo 3
Vou calcular
a partir de
. Lembrete da regra da cadeia: se
então
. Aplicando aqui com
:
Observação rápida: se preferisse, poderia ter usado a regra do produto diretamente em
; o resultado seria o mesmo.
Passo 4
Agora encontro os pontos críticos resolvendo
, ou seja
As soluções gerais de
são
,
. Tomando
obtemos
Agora seleciono as soluções que caem no intervalo
. Para
temos:
Para
já temos
e para
obtemos
. Logo os pontos críticos em
são
Passo 5
Para classificar cada ponto como máximo ou mínimo uso o teste da segunda derivada. Primeiro calculo
. A partir de
e usando derivada de cosseno mais regra da cadeia:
Regra de classificação (segundo derivada): se
então
é máximo local; se
então
é mínimo local. (Se
o teste é inconclusivo.)
Passo 6
Avalio
em cada ponto crítico. Vou usar
para cada caso e o valor de
:
- Para
: , . Então
portanto
é um máximo local.
- Para
: , . Então
portanto
é um mínimo local.
- Para
: . Como , vem
portanto
é um máximo local.
- Para
: . Como , vem
portanto
é um mínimo local.
Passo 7
Como verificação rápida, posso também ver os valores de
nesses pontos usando
:
Isso confirma que os pontos com
são máximos locais e os com
são mínimos locais.