Utilize a método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de máximo e minimo da funçāo f(x, y)=42 x+28 y com condição x y=600

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo da função f(x,y)=42x+28y sujeitos à condição xy=600. Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função objetiva é f(x,y)=42x+28y.
  • A restrição (condição) é xy=600.
  • Devemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para localizar pontos estacionários da função sob essa restrição.
    As perguntas implícitas: quais pontos (x,y) satisfazem a restrição e tornam f extremal (máximo ou mínimo) sob essa restrição, e quais são os respectivos valores de f.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (aula rápida):
  • Quando queremos extremizar f(x,y) sujeito à restrição g(x,y)=c, procuramos pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso se escreve como \nabla f = \lambda \nabla g, onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a proporção).
  • Em prática, construímos a função de Lagrange \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\big(g(x,y)-c\big) (o sinal é uma convenção) e anulamos as derivadas parciais: \partial \mathcal{L}/\partial x=0, \partial \mathcal{L}/\partial y=0, \partial \mathcal{L}/\partial\lambda=0. Essas três equações nos dão um sistema para x,y,\lambda.
  • Aqui: g(x,y)=xy e c=600. Vou aplicar exatamente esse procedimento.

Passo 3

Escrevo a Lagrangiana para o problema:
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=42x+28y-\lambda\big(xy-600\big).
Explico cada termo:
  • 42x+28y é a função objetivo f.
  • \lambda é o multiplicador que força a restrição xy-600=0.
  • A condição \partial \mathcal{L}/\partial\lambda=0 recupera a restrição xy=600.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais e imponho que sejam zero (esses são os sistemas do método):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=42-\lambda y=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=28-\lambda x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(xy-600)=0.
As equações significam:
  • \lambda y=42,
  • \lambda x=28,
  • xy=600.

Passo 5

Resolvo o sistema. Dividindo as duas primeiras equações:
\frac{\lambda y}{\lambda x}=\frac{42}{28}\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{x}=\frac{42}{28}=\frac{3}{2}.
Logo
y=\frac{3}{2}x.
Substituo na restrição xy=600:
x\cdot\frac{3}{2}x=600\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2}x^{2}=600.
Isolo x^{2}:
x^{2}=600\cdot\frac{2}{3}=400.
Portanto
x=\pm 20.
Usando y=\frac{3}{2}x obtemos
\text{se }x=20\Rightarrow y=30;\qquad \text{se }x=-20\Rightarrow y=-30.
Assim há dois pontos críticos sujeitos à restrição: (20,30) e (-20,-30).

Passo 6

Calculo os valores de f nesses pontos:
f(20,30)=42\cdot 20 + 28\cdot 30 = 840 + 840 = 1680,
f(-20,-30)=42\cdot(-20) + 28\cdot(-30) = -840 -840 = -1680.

Passo 7

Classificação dos extremos (como decidir se é máximo ou mínimo na curva xy=600):
  • Uma maneira prática: reescrever a restrição como y=\dfrac{600}{x} e considerar a função unidimensional \varphi(x)=f\big(x,\tfrac{600}{x}\big). Então examinar derivadas de \varphi.
  • Substituindo,
\varphi(x)=42x+28\cdot\frac{600}{x}=42x+\frac{16800}{x}.
Derivo:
\varphi'(x)=42-\frac{16800}{x^{2}}.
Zerando \varphi'(x) recuperamos x^{2}=400, i.e. x=\pm 20, como antes. A segunda derivada é
\varphi''(x)=\frac{33600}{x^{3}}.
  • Em x=20 temos \varphi''(20)=\dfrac{33600}{20^{3}}=\dfrac{33600}{8000}=4{,}2>0, portanto \varphi tem mínimo local (e nesse ramo positiva é mínimo global do ramo) em x=20.
  • Em x=-20 temos \varphi''(-20)=\dfrac{33600}{(-20)^{3}}=-4{,}2<0, portanto \varphi tem máximo local (no ramo negativo) em x=-20.

Passo 8

Interpretação final sobre existência de extremos globais:
  • Na componente da curva onde x>0,y>0 (ramo positivo da hipérbole) a função \varphi(x) tende para +\infty quando x\to 0^{+} e também para +\infty quando x\to +\infty. Assim o ponto (20,30) fornece o mínimo global sobre o ramo positivo e o valor mínimo lá é 1680.
  • Na componente onde x<0,y<0 (ramo negativo) a função tende para -\infty quando x\to 0^{-} e também para -\infty quando x\to -\infty. Assim o ponto (-20,-30) fornece o máximo local (e máximo global sobre o ramo negativo) com valor -1680.
  • Contudo, considerando toda a curva xy=600 (ambos os ramos), f não é limitada superiormente nem inferiormente: existe direção em que f\to +\infty (ramo positivo, x\to0^{+} ou x\to+\infty) e direção em que f\to -\infty (ramo negativo). Portanto não existe máximo global nem mínimo global no conjunto total \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:xy=600\}.

Resposta

Mínimo (no ramo x>0,y>0): valor \;1680 em (x,y)=(20,30).
Máximo (no ramo x<0,y<0): valor -1680 em (x,y)=(-20,-30).
Observação: sobre toda a curva xy=600 a função é não limitada superior e inferior (vai a +\infty e -\infty), portanto não existe máximo global nem mínimo global.

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