Utilize a método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de máximo e minimo da funçāo
com condição
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de máximo e mínimo da função
sujeitos à condição
. Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função objetiva é
. - A restrição (condição) é
. - Devemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para localizar pontos estacionários da função sob essa restrição.
As perguntas implícitas: quais pontossatisfazem a restrição e tornam extremal (máximo ou mínimo) sob essa restrição, e quais são os respectivos valores de .
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (aula rápida):
- Quando queremos extremizar
sujeito à restrição , procuramos pontos onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Isso se escreve como , onde é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a proporção). - Em prática, construímos a função de Lagrange
(o sinal é uma convenção) e anulamos as derivadas parciais: , , . Essas três equações nos dão um sistema para . - Aqui:
e . Vou aplicar exatamente esse procedimento.
Passo 3
Escrevo a Lagrangiana para o problema:
Explico cada termo:
-
é a função objetivo . -
é o multiplicador que força a restrição . - A condição
recupera a restrição .
Passo 4
Calculo as derivadas parciais e imponho que sejam zero (esses são os sistemas do método):
As equações significam:
-
, -
, -
.
Passo 5
Resolvo o sistema. Dividindo as duas primeiras equações:
Logo
Substituo na restrição
:
Isolo
:
Portanto
Usando
obtemos
Assim há dois pontos críticos sujeitos à restrição:
e
.
Passo 6
Calculo os valores de
nesses pontos:
Passo 7
Classificação dos extremos (como decidir se é máximo ou mínimo na curva
):
- Uma maneira prática: reescrever a restrição como
e considerar a função unidimensional . Então examinar derivadas de . - Substituindo,
Derivo:
Zerando
recuperamos
, i.e.
, como antes. A segunda derivada é
- Em
temos , portanto tem mínimo local (e nesse ramo positiva é mínimo global do ramo) em . - Em
temos , portanto tem máximo local (no ramo negativo) em .
Passo 8
Interpretação final sobre existência de extremos globais:
- Na componente da curva onde
(ramo positivo da hipérbole) a função tende para quando e também para quando . Assim o ponto fornece o mínimo global sobre o ramo positivo e o valor mínimo lá é . - Na componente onde
(ramo negativo) a função tende para quando e também para quando . Assim o ponto fornece o máximo local (e máximo global sobre o ramo negativo) com valor . - Contudo, considerando toda a curva
(ambos os ramos), não é limitada superiormente nem inferiormente: existe direção em que (ramo positivo, ou ) e direção em que (ramo negativo). Portanto não existe máximo global nem mínimo global no conjunto total .
Resposta
Mínimo (no ramo
): valor
em
.
Máximo (no ramo ): valor
em
.
Observação: sobre toda a curva a função é não limitada superior e inferior (vai a
e
), portanto não existe máximo global nem mínimo global.
Máximo (no ramo
Observação: sobre toda a curva