Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
f(x, y)=x^{2}+(y-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}
e que eu classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A função explicitamente: \;f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}.
  • Não há restrição no domínio, portanto o domínio é todo o plano \mathbb{R}^{2}.
  • Preciso encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e então classificá-los.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que é um ponto crítico e como encontrá-lo de forma prática (passo-a-passo que vale na prova):
  • Um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras de f com respeito a x e a y existem e são simultaneamente zero em (x_{0},y_{0}). Essas derivadas parciais formam o gradiente.
  • O gradiente de f é o vetor \nabla f=(f_{x},f_{y}), onde f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x e f_{y} é a derivada parcial em relação a y.
  • Procedimento prático: calcular f_{x} e f_{y}, resolver o sistema f_{x}=0, f_{y}=0 para achar candidatos a pontos críticos.
Agora calculo as derivadas parciais. Primeiro, explico a regra usada: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; derivada de (y-1)^{2} em relação a x é zero, porque y é tratado como constante quando se deriva em relação a x. Analogamente para derivar em relação a y.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+(y-1)^{2}\big)=2x,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+(y-1)^{2}\big)=2(y-1).
Agora imponho o sistema para pontos críticos:
\begin{cases} 2x=0,\\[4pt] 2(y-1)=0. \end{cases}
Resolvo cada equação:
2x=0 \implies x=0,
2(y-1)=0 \implies y-1=0 \implies y=1.
Portanto o único ponto crítico candidato é (0,1).]

Passo 4

Agora eu preciso classificar o ponto crítico. Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis — explico ele com calma:
  • Definimos as segundas derivadas f_{xx}, f_{yy} e f_{xy}.
  • Construímos o determinante do Hessiano (às vezes chamado de discriminante)
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
  • Regras de classificação no ponto (x_{0},y_{0}):
    • Se D(x_{0},y_{0})>0 e f_{xx}(x_{0},y_{0})>0 então (x_{0},y_{0}) é mínimo relativo.
    • Se D(x_{0},y_{0})>0 e f_{xx}(x_{0},y_{0})<0 então (x_{0},y_{0}) é máximo relativo.
    • Se D(x_{0},y_{0})<0 então (x_{0},y_{0}) é ponto de sela.
    • Se D(x_{0},y_{0})=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas da nossa função (explicando: derivada de 2x em relação a x é 2; derivada mista de 2x em relação a y é 0, etc.):

Passo 5

Calculo as segundas derivadas e o determinante D:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2(y-1)\big)=2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0.
Então o determinante do Hessiano é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4.
Note que D(x,y)=4>0 em qualquer ponto (é constante) e especificamente em (0,1) temos D(0,1)=4>0. Além disso f_{xx}(0,1)=2>0. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que (0,1) é um mínimo relativo.

Passo 6

Complemento com observação útil para a prova e intuição:
  • Como f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2} é soma de quadrados, cada termo é sempre não negativo. O menor valor possível é quando ambos os quadrados são zero, isto é, quando x=0 e y-1=0. Isso confirma que (0,1) é não só mínimo relativo, mas também mínimo absoluto (global) e o valor mínimo da função é
f(0,1)=0.
  • Intuição geométrica rápida: a superfície é um paraboloide “aberto para cima” com eixo paralelo ao eixo z, deslocado em y para y=1. Então faz sentido que exista um único vale (mínimo) em (0,1).
  • Exemplo comparativo rápido (para fixar a diferença): a função \;g(x,y)=x^{2}-y^{2}\; tem gradiente nulo em (0,0) mas D(0,0)= -4<0, o que indica ponto de sela — serve para lembrar quando D<0 interpretamos sela.

Resposta

(0,1) — mínimo relativo (e mínimo absoluto), com f(0,1)=0.

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