Encontre os pontos críticos das funções dadas e classifique cada um deles como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
e que eu classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. As informações relevantes que o enunciado dá são:
- A função explicitamente:
. - Não há restrição no domínio, portanto o domínio é todo o plano
. - Preciso encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e então classificá-los.
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que é um ponto crítico e como encontrá-lo de forma prática (passo-a-passo que vale na prova):
- Um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras de com respeito a e a existem e são simultaneamente zero em . Essas derivadas parciais formam o gradiente. - O gradiente de
é o vetor , onde é a derivada parcial de em relação a e é a derivada parcial em relação a . - Procedimento prático: calcular
e , resolver o sistema , para achar candidatos a pontos críticos.
Agora calculo as derivadas parciais. Primeiro, explico a regra usada: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é zero, porque
é tratado como constante quando se deriva em relação a
. Analogamente para derivar em relação a
.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais:
Agora imponho o sistema para pontos críticos:
Resolvo cada equação:
Portanto o único ponto crítico candidato é
.]
Passo 4
Agora eu preciso classificar o ponto crítico. Vou usar o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis — explico ele com calma:
- Definimos as segundas derivadas
, e . - Construímos o determinante do Hessiano (às vezes chamado de discriminante)
- Regras de classificação no ponto
: - Se
e então é mínimo relativo. - Se
e então é máximo relativo. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vou calcular as segundas derivadas da nossa função (explicando: derivada de
em relação a
é
; derivada mista de
em relação a
é
, etc.):
Passo 5
Calculo as segundas derivadas e o determinante
:
Então o determinante do Hessiano é
Note que
em qualquer ponto (é constante) e especificamente em
temos
. Além disso
. Pelo teste das segundas derivadas, isso implica que
é um mínimo relativo.
Passo 6
Complemento com observação útil para a prova e intuição:
- Como
é soma de quadrados, cada termo é sempre não negativo. O menor valor possível é quando ambos os quadrados são zero, isto é, quando e . Isso confirma que é não só mínimo relativo, mas também mínimo absoluto (global) e o valor mínimo da função é
- Intuição geométrica rápida: a superfície é um paraboloide “aberto para cima” com eixo paralelo ao eixo
, deslocado em para . Então faz sentido que exista um único vale (mínimo) em . - Exemplo comparativo rápido (para fixar a diferença): a função
tem gradiente nulo em mas , o que indica ponto de sela — serve para lembrar quando interpretamos sela.