Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial autônoma de primeira ordem
O que é pedido:
- Encontrar os pontos críticos (soluções de equilíbrio), isto é, os valores de
tais que . - Fazer o retrato de fase (identificar as direções do fluxo para diferentes valores de
e desenhar as soluções de equilíbrio no plano ). - Classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
- Esboçar curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Informações relevantes dadas:
- A função do lado direito depende só de
(autônoma): com explícita. - Para equlíbrio precisamos resolver
. - Para classificar estabilidade, podemos usar o sinal de
em intervalos e o sinal de nos pontos críticos (teste linearizado).
Passo 2
Simplificar a função do lado direito para trabalhar com mais facilidade. Começo por manipular algebricamente:
Uma forma ainda mais simples é dividir os termos:
Logo definimos
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Como
, temos produto zero quando uma das duas parcelas é zero:
-
. -
que implica e então . Tomando logaritmo:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Explicar e calcular
para usar o teste linearizado. Derivo
. Usando regra do produto:
Então
Vou avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
Como
, a linearização indica que
é assintoticamente estável (atrator).
- Em
: note que . Assim
Como
, temos
e portanto
é instável (repulsor).
Passo 5
Fazer a análise de sinais de
em cada intervalo para construir o retrato de fase (isso também mostra a direção das setas no gráfico):
Lembre que .
Lembre que
- Para
: aqui é negativo e então . Produto: negativo negativo = positivo. Assim para . Conclusão: quando as soluções aumentam ( ) conforme cresce. - Para
: aqui e está entre e , então e . Produto: positivo negativo = negativo. Assim nesse intervalo. Conclusão: para as soluções decrescem ( ) quando cresce. - Para
: aqui e então e . Produto: positivo positivo = positivo. Logo para . Conclusão: para as soluções aumentam ( ).
Resumo do fluxo (para
aumentando):
- abaixo de
: fluxo para cima (tendendo a ); - entre
e : fluxo para baixo (tendendo a ); - acima de
: fluxo para cima (afastando-se de ).
Isto confirma que
atrai trajetórias de ambos os lados (assintoticamente estável) e
repele trajetórias (instável). Não há equilibria semiestáveis neste caso.
Passo 6
Como desenhar o retrato de fase e as curvas integrais no plano
(instruções práticas para esboçar à mão):
- Desenhe duas linhas horizontais (soluções constantes):
e . Essas são as soluções de equilíbrio (retas horizontais no plano ). - Ao longo de cada horizontal escolha setas que mostram a direção conforme
cresce: - Para
: desenhe pequenas setas apontando para cima. - Entre
e : desenhe setas apontando para baixo. - Para
: desenhe setas apontando para cima.
- Para
- Trajetórias típicas (curvas integrais) são funções
monotônicas em cada intervalo: - Se a condição inicial
, então cresce com e tende para quando . - Se
, então decresce e tende para quando . - Se
, então cresce ainda mais com (afasta-se de ); tipicamente conforme cresce (não há outro equilíbrio acima).
- Se a condição inicial
- Para
a direção do tempo se inverte e as trajetórias se comportam de forma contrária (por exemplo, trajetórias com originam-se em ao ir para o passado).
Observação prática: como
depende só de
, as inclinações
ao longo de uma linha horizontal são constantes, então as curvas integrais cruzam verticalmente cada linha
const com a mesma inclinação para o mesmo
. Em um esboço, é suficiente desenhar as horizontais de equilíbrio e setas indicando o sentido do movimento entre elas, e então traçar curvas monótonas que se aproximam/afastam conforme indicado.
Passo 7
Interpretação final e verificação intuitiva (resumo didático e motivador):
- Dois equilíbrios:
e . - O teste linearizado com
dá (atrator) e (repulsor). - A análise de sinais de
mostra precisamente de onde as trajetórias são empurradas para cima ou para baixo, o que permite desenhar o retrato de fase e esboçar curvas integrais típicas.