Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
\frac{d y}{d x}=\frac{y e^{y}-9 y}{e^{y}}\

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial autônoma de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{y e^{y}-9y}{e^{y}}.
O que é pedido:
  • Encontrar os pontos críticos (soluções de equilíbrio), isto é, os valores de y tais que \dfrac{dy}{dx}=0.
  • Fazer o retrato de fase (identificar as direções do fluxo para diferentes valores de y e desenhar as soluções de equilíbrio no plano x y).
  • Classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
  • Esboçar curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Informações relevantes dadas:
  • A função do lado direito depende só de y (autônoma): \dfrac{dy}{dx}=f(y) com f explícita.
  • Para equlíbrio precisamos resolver f(y)=0.
  • Para classificar estabilidade, podemos usar o sinal de f(y) em intervalos e o sinal de f'(y) nos pontos críticos (teste linearizado).

Passo 2

Simplificar a função do lado direito para trabalhar com mais facilidade. Começo por manipular algebricamente:
\frac{y e^{y}-9y}{e^{y}} = \frac{y(e^{y}-9)}{e^{y}}.
Uma forma ainda mais simples é dividir os termos:
\frac{y e^{y}}{e^{y}}-\frac{9y}{e^{y}} = y - 9y e^{-y}.
Logo definimos
f(y)=y-9y e^{-y}=y\bigl(1-9e^{-y}\bigr).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f(y)=0. Como f(y)=y(1-9e^{-y}), temos produto zero quando uma das duas parcelas é zero:
  1. y=0.
  2. 1-9e^{-y}=0 que implica 9e^{-y}=1 e então e^{-y}=\dfrac{1}{9}. Tomando logaritmo:
-y=\ln\!\left(\frac{1}{9}\right)=-\ln 9 \quad\Rightarrow\quad y=\ln 9.
Portanto os pontos críticos são \;y=0\; e \;y=\ln 9.

Passo 4

Explicar e calcular f'(y) para usar o teste linearizado. Derivo f(y)=y-9y e^{-y}. Usando regra do produto:
\frac{d}{dy}\bigl(y e^{-y}\bigr)=e^{-y}+y(-e^{-y})=e^{-y}(1-y).
Então
f'(y)=1-9\cdot e^{-y}(1-y).
Vou avaliar f' nos pontos críticos:
  • Em y=0:
f'(0)=1-9\cdot e^{0}(1-0)=1-9= -8.
Como f'(0)=-8<0, a linearização indica que y=0 é assintoticamente estável (atrator).
  • Em y=\ln 9: note que e^{-\ln 9}=\dfrac{1}{9}. Assim
f'(\ln 9)=1-9\cdot\frac{1}{9}\bigl(1-\ln 9\bigr)=1-(1-\ln 9)=\ln 9.
Como \ln 9>0, temos f'(\ln 9)>0 e portanto y=\ln 9 é instável (repulsor).

Passo 5

Fazer a análise de sinais de f(y) em cada intervalo para construir o retrato de fase (isso também mostra a direção das setas no gráfico):
Lembre que f(y)=y\bigl(1-9e^{-y}\bigr).
  • Para y<0: aqui y<0 é negativo e e^{-y}>1 então 1-9e^{-y}<1-9<0. Produto: negativo \times negativo = positivo. Assim f(y)>0 para y<0. Conclusão: quando y<0 as soluções aumentam ( dy/dx>0) conforme x cresce.
  • Para 0<y<\ln 9: aqui y>0 e e^{-y} está entre 1 e 1/9, então 9e^{-y}>1 e 1-9e^{-y}<0. Produto: positivo \times negativo = negativo. Assim f(y)<0 nesse intervalo. Conclusão: para 0<y<\ln 9 as soluções decrescem ( dy/dx<0) quando x cresce.
  • Para y>\ln 9: aqui y>0 e e^{-y}<1/9 então 9e^{-y}<1 e 1-9e^{-y}>0. Produto: positivo \times positivo = positivo. Logo f(y)>0 para y>\ln 9. Conclusão: para y>\ln 9 as soluções aumentam ( dy/dx>0).
Resumo do fluxo (para x aumentando):
  • abaixo de y=0: fluxo para cima (tendendo a y=0);
  • entre y=0 e y=\ln 9: fluxo para baixo (tendendo a y=0);
  • acima de y=\ln 9: fluxo para cima (afastando-se de y=\ln 9).
Isto confirma que y=0 atrai trajetórias de ambos os lados (assintoticamente estável) e y=\ln 9 repele trajetórias (instável). Não há equilibria semiestáveis neste caso.

Passo 6

Como desenhar o retrato de fase e as curvas integrais no plano x y (instruções práticas para esboçar à mão):
  • Desenhe duas linhas horizontais (soluções constantes): y=0 e y=\ln 9. Essas são as soluções de equilíbrio (retas horizontais no plano x y).
  • Ao longo de cada horizontal escolha setas que mostram a direção conforme x cresce:
    • Para y<0: desenhe pequenas setas apontando para cima.
    • Entre y=0 e y=\ln 9: desenhe setas apontando para baixo.
    • Para y>\ln 9: desenhe setas apontando para cima.
  • Trajetórias típicas (curvas integrais) são funções y(x) monotônicas em cada intervalo:
    • Se a condição inicial y(x_0)<0, então y(x) cresce com x e tende para y=0 quando x\to+\infty.
    • Se 0<y(x_0)<\ln 9, então y(x) decresce e tende para y=0 quando x\to+\infty.
    • Se y(x_0)>\ln 9, então y(x) cresce ainda mais com x (afasta-se de \ln 9); tipicamente y(x)\to+\infty conforme x cresce (não há outro equilíbrio acima).
  • Para x\to -\infty a direção do tempo se inverte e as trajetórias se comportam de forma contrária (por exemplo, trajetórias com 0<y<\ln 9 originam-se em y=\ln 9 ao ir para o passado).
Observação prática: como f(y) depende só de y, as inclinações \dfrac{dy}{dx} ao longo de uma linha horizontal são constantes, então as curvas integrais cruzam verticalmente cada linha x=const com a mesma inclinação para o mesmo y. Em um esboço, é suficiente desenhar as horizontais de equilíbrio e setas indicando o sentido do movimento entre elas, e então traçar curvas monótonas que se aproximam/afastam conforme indicado.

Passo 7

Interpretação final e verificação intuitiva (resumo didático e motivador):
  • Dois equilíbrios: \;y=0\; e \;y=\ln 9\;.
  • O teste linearizado com f'(y) f'(0)=-8<0 (atrator) e f'(\ln 9)=\ln 9>0 (repulsor).
  • A análise de sinais de f(y) mostra precisamente de onde as trajetórias são empurradas para cima ou para baixo, o que permite desenhar o retrato de fase e esboçar curvas integrais típicas.

Resposta

y=0 : assintoticamente estável.
y=\ln 9 : instável.

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