Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
\frac{d y}{d x}=(y-2)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=(y-2)^{4},
e pede:
  • encontrar os pontos críticos (soluções de equilíbrio);
  • desenhar o retrato de fase (seta-direção para o comportamento de y quando x aumenta);
  • classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável;
  • esboçar curvas integrais típicas nas regiões do plano xy determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é autônoma (o lado direito depende só de y).
  • A função do lado direito é f(y)=(y-2)^{4}.

Passo 2

O que é ponto crítico (equilíbrio) aqui?
  • Em equações autônomas dy/dx=f(y), uma solução de equilíbrio é uma constante y(x)\equiv y_* tal que f(y_*)=0.
  • Então, para achar os pontos críticos devemos resolver
(y-2)^{4}=0.
Calculemos: (y-2)^{4}=0 se, e somente se, y-2=0. Portanto existe um único valor:
y=2.
Conclusão: a única solução de equilíbrio (ponto crítico) é a reta horizontal y(x)\equiv 2.

Passo 3

Análise do sinal de f(y) e implicações qualitativas (linha de fase):
  • A função f(y)=(y-2)^{4} é uma quarta potência, logo satisfaz f(y)\ge 0 para todo y, e f(y)=0 apenas em y=2.
  • Para y\neq 2 tem-se f(y)>0. Isto significa que, para qualquer condição inicial com y\neq2, tem-se \dfrac{dy}{dx}>0: a solução é crescente quando x aumenta.
  • Interpretação na linha de fase vertical (eixos: eixo vertical com coordenada y, setas mostrando a direção de variação de y quando x cresce):
    • Em y<2: \dfrac{dy}{dx}>0 (setas apontando para cima), ou seja, soluções abaixo de 2 aumentam de y quando x cresce — isto é um movimento em direção a y=2.
    • Em y>2: \dfrac{dy}{dx}>0 (setas também para cima), ou seja, soluções acima de 2 aumentam ainda mais quando x cresce — movimento para longe de y=2.
Conclusão qualitativa imediata: o equilíbrio y=2 atrai soluções que começam com y<2 (movem-se para cima em direção a 2), mas repele soluções que começam com y>2 (também movem-se para cima, afastando-se de 2). Isso é exatamente a definição de ponto semiestável: atrai de um lado e repele do outro.

Passo 4

Análise pela linearização e por que ela falha aqui:
  • Linearização padrão usa f'(y_*). Calculemos
f'(y)=4(y-2)^{3},\qquad f'(2)=0.
  • Como f'(2)=0, a linearização não decide a estabilidade (critério linear inconclusivo). Por isso precisamos de análise não-linear (linha de fase) ou da solução explícita — já vimos a linha de fase e indicou semiestabilidade; agora vamos integrar explicitamente para confirmar e obter comportamento detalhado.

Passo 5

Resolver a EDO por separação (passo a passo didático):
  • Escrevemos a equação separável:
\frac{dy}{dx}=(y-2)^{4}\quad\Longrightarrow\quad (y-2)^{-4}\,dy=dx.
  • Integramos ambos os lados. À esquerda integra-se em y, à direita em x:
\int (y-2)^{-4}\,dy=\int 1\,dx.
  • Calcule a integral à esquerda. Para u=y-2 tem \int u^{-4}du=\dfrac{u^{-3}}{-3}. Voltando a y:
\frac{(y-2)^{-3}}{-3}=x+C,
onde C é constante de integração.
  • Reescrevendo,
(y-2)^{-3}=-3x + C_1,
com C_1 constante arbitrária (escrito para simplificar).
  • Isolando y,
y-2=\bigl(-3x + C_1\bigr)^{-1/3},
ou seja a família geral de soluções não-constantes é
y(x)=2+\bigl(C_1-3x\bigr)^{-1/3},
onde a raiz cúbica aqui é a raiz cúbica real (permite sinal positivo ou negativo conforme o sinal de C_1-3x).
Observações sobre a forma da solução:
  • A solução constante y\equiv 2 é a solução de equilíbrio correspondente ao caso limite quando a expressão (y-2)^{-3} tende a infinito; mas note que as soluções não-constantes nunca atingem y=2 para x finito porque isso exigiria (y-2)^{-3}=0, o que não ocorre.
  • Para cada condição inicial y(x_0)=y_0\neq 2 determina-se C_1=(y_0-2)^{-3}+3x_0.

Passo 6

Comportamento temporal e limites a partir da solução explícita (como usar na prova):
  • Para uma condição inicial com y_0<2 (ou seja y_0-2<0){
    • O valor (y_0-2)^{-3} é negativo, então C_1 tende a ser negativo (dependendo de x_0). Quando x\to+\infty temos C_1-3x\to -\infty, então (C_1-3x)^{-1/3}\to 0^{-} e assim y(x)\to 2^{-}. Ou seja, soluções que começam abaixo de 2 crescem e aproximam-se de 2 quando x\to+\infty — atração pelo lado esquerdo.
    • Para algum valor finito de x na outra direção pode ocorrer C_1-3x=0, isto é, existe um ponto onde a solução tem assíntota vertical (blow-up) e a solução não é definida naquele x. Em resumo: rumo ao passado (ou para a direção oposta), a integral pode explodir em valor absoluto finito de x.
  • Para uma condição inicial com y_0>2 (ou seja y_0-2>0):
    • (y_0-2)^{-3}>0, então existe um x_* finito tal que C_1-3x_*=0; ao aproximar x\to x_*^{-} a solução satisfaz |y|\to+\infty (blow-up). Ou seja, ao avançar em x a partir de uma condição com y>2, a solução cresce e explode (afasta-se de 2). No sentido x\to -\infty a solução tende para y\to 2^{+}. Assim soluções acima de 2 são repulsivas no futuro.
  • Conclusão qualitativa confirmada pela solução explícita:
    • soluções com y<2 aproximam-se de y=2 quando x\to+\infty (atração pelo lado esquerdo);
    • soluções com y>2 afastam-se de y=2 ao avançar em x (repulsão pelo lado direito);
    • nenhuma solução não-constante atinge y=2 em tempo finito (única solução que toma o valor 2 em algum ponto é a solução constante y\equiv 2).

Passo 7

Como montar o retrato de fase e esboçar curvas integrais no plano xy (o que desenhar na prova):
  • Desenhe a reta horizontal y=2 (solução de equilíbrio).
  • Na região y<2: desenhe setas nas curvas integrais apontando para cima quando x aumenta; esboce curvas que vêm de um blow-up (vertical) em algum x finito ou de -\infty e que se aproximam assintoticamente de y=2 quando x\to+\infty.
  • Na região y>2: desenhe setas também para cima (aumentando y com x); esboce curvas que partem próximas a y=2 para x\to -\infty e que crescem até explodir em valor absoluto em algum x finito ao avançar.
  • No gráfico as curvas integrais nunca cruzam a reta y=2 em um ponto com x finito (isso violaria unicidade); elas apenas se aproximam assintoticamente de y=2 por um lado.

Resposta

Ponto crítico: y=2 (reta horizontal).
Classificação: y=2 é semiestável — atrai soluções que começam com y<2 (elas tendem a 2 quando x\to+\infty) e repele soluções que começam com y>2 (elas se afastam e geralmente explodem em valor absoluto em tempo finito ao avançar em x).

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