Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial autônoma de primeira ordem
e pede:
- encontrar os pontos críticos (soluções de equilíbrio);
- desenhar o retrato de fase (seta-direção para o comportamento de
quando aumenta); - classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável;
- esboçar curvas integrais típicas nas regiões do plano
determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
Informações relevantes dadas:
- A equação é autônoma (o lado direito depende só de
). - A função do lado direito é
.
Passo 2
O que é ponto crítico (equilíbrio) aqui?
- Em equações autônomas
, uma solução de equilíbrio é uma constante tal que . - Então, para achar os pontos críticos devemos resolver
Calculemos:
se, e somente se,
. Portanto existe um único valor:
Conclusão: a única solução de equilíbrio (ponto crítico) é a reta horizontal
.
Passo 3
Análise do sinal de
e implicações qualitativas (linha de fase):
- A função
é uma quarta potência, logo satisfaz para todo , e apenas em . - Para
tem-se . Isto significa que, para qualquer condição inicial com , tem-se : a solução é crescente quando aumenta. - Interpretação na linha de fase vertical (eixos: eixo vertical com coordenada
, setas mostrando a direção de variação de quando cresce): - Em
: (setas apontando para cima), ou seja, soluções abaixo de aumentam de quando cresce — isto é um movimento em direção a . - Em
: (setas também para cima), ou seja, soluções acima de aumentam ainda mais quando cresce — movimento para longe de .
- Em
Conclusão qualitativa imediata: o equilíbrio
atrai soluções que começam com
(movem-se para cima em direção a
), mas repele soluções que começam com
(também movem-se para cima, afastando-se de
). Isso é exatamente a definição de ponto semiestável: atrai de um lado e repele do outro.
Passo 4
Análise pela linearização e por que ela falha aqui:
- Linearização padrão usa
. Calculemos
- Como
, a linearização não decide a estabilidade (critério linear inconclusivo). Por isso precisamos de análise não-linear (linha de fase) ou da solução explícita — já vimos a linha de fase e indicou semiestabilidade; agora vamos integrar explicitamente para confirmar e obter comportamento detalhado.
Passo 5
Resolver a EDO por separação (passo a passo didático):
- Escrevemos a equação separável:
- Integramos ambos os lados. À esquerda integra-se em
, à direita em :
- Calcule a integral à esquerda. Para
tem . Voltando a :
onde
é constante de integração.
- Reescrevendo,
com
constante arbitrária (escrito para simplificar).
- Isolando
,
ou seja a família geral de soluções não-constantes é
onde a raiz cúbica aqui é a raiz cúbica real (permite sinal positivo ou negativo conforme o sinal de
).
Observações sobre a forma da solução:
- A solução constante
é a solução de equilíbrio correspondente ao caso limite quando a expressão tende a infinito; mas note que as soluções não-constantes nunca atingem para finito porque isso exigiria , o que não ocorre. - Para cada condição inicial
determina-se .
Passo 6
Comportamento temporal e limites a partir da solução explícita (como usar na prova):
- Para uma condição inicial com
(ou seja ){ - O valor
é negativo, então tende a ser negativo (dependendo de ). Quando temos , então e assim . Ou seja, soluções que começam abaixo de crescem e aproximam-se de quando — atração pelo lado esquerdo. - Para algum valor finito de
na outra direção pode ocorrer , isto é, existe um ponto onde a solução tem assíntota vertical (blow-up) e a solução não é definida naquele . Em resumo: rumo ao passado (ou para a direção oposta), a integral pode explodir em valor absoluto finito de .
- O valor
- Para uma condição inicial com
(ou seja ): -
, então existe um finito tal que ; ao aproximar a solução satisfaz (blow-up). Ou seja, ao avançar em a partir de uma condição com , a solução cresce e explode (afasta-se de ). No sentido a solução tende para . Assim soluções acima de são repulsivas no futuro.
-
- Conclusão qualitativa confirmada pela solução explícita:
- soluções com
aproximam-se de quando (atração pelo lado esquerdo); - soluções com
afastam-se de ao avançar em (repulsão pelo lado direito); - nenhuma solução não-constante atinge
em tempo finito (única solução que toma o valor em algum ponto é a solução constante ).
- soluções com
Passo 7
Como montar o retrato de fase e esboçar curvas integrais no plano
(o que desenhar na prova):
- Desenhe a reta horizontal
(solução de equilíbrio). - Na região
: desenhe setas nas curvas integrais apontando para cima quando aumenta; esboce curvas que vêm de um blow-up (vertical) em algum finito ou de e que se aproximam assintoticamente de quando . - Na região
: desenhe setas também para cima (aumentando com ); esboce curvas que partem próximas a para e que crescem até explodir em valor absoluto em algum finito ao avançar. - No gráfico as curvas integrais nunca cruzam a reta
em um ponto com finito (isso violaria unicidade); elas apenas se aproximam assintoticamente de por um lado.
Resposta
Ponto crítico:
(reta horizontal).
Classificação:
é semiestável — atrai soluções que começam com
(elas tendem a
quando
) e repele soluções que começam com
(elas se afastam e geralmente explodem em valor absoluto em tempo finito ao avançar em
).