Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilíbrio.
\frac{d y}{d x}=y(2-y)(4-y)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos (soluções de equilíbrio) e fazer o retrato de fase da EDO autônoma de primeira ordem dada. Também pede classificar cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável e esboçar curvas integrais típicas nas regiões do plano x y determinadas pelas soluções de equilíbrio.
Informação dada:
  • A equação diferencial é \frac{dy}{dx}=y(2-y)(4-y).
  • Pede-se:
    • os pontos y constantes tais que \dfrac{dy}{dx}=0 (pontos críticos);
    • a classificação de estabilidade de cada um;
    • o retrato de fase (linha de fase) e esboço de curvas integrais típicas nas regiões entre essas soluções de equilíbrio.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: são os valores de y que anulam o lado direito. Temos que resolver
y(2-y)(4-y)=0.
As soluções são os zeros dos fatores. Logo os pontos críticos (soluções de equilíbrio constantes) são
y=0,\qquad y=2,\qquad y=4.
Cada um corresponde a uma solução constante y(x)\equiv 0, y(x)\equiv 2 e y(x)\equiv 4 (retas horizontais no plano xy).

Passo 3

Método de classificação rápida — linearização: para uma EDO autônoma y'=f(y), a classificação local de um ponto crítico y^* pode ser feita avaliando f'(y^*):
  • se f'(y^*)<0 então y^* é assintoticamente estável (atrator local);
  • se f'(y^*)>0 então y^* é instável (repulsor local);
  • se f'(y^*)=0 é preciso analisar termos de ordem superior (caso degenerado).
Aqui f(y)=y(2-y)(4-y). Vamos calcular f'(y). Primeiro simplifico a expressão:
(2-y)(4-y)=(y-2)(y-4),
pois os dois sinais trocam duas vezes; assim também vale
f(y)=y(y-2)(y-4).
Expandindo (ou usando regra do produto) obtém-se
f(y)=8y-6y^{2}+y^{3}.
Derivando,
f'(y)=8-12y+3y^{2}.
Agora avalio em cada ponto crítico:
f'(0)=8-0+0=8>0,
f'(2)=8-24+12=-4<0,
f'(4)=8-48+48=8>0.

Passo 4

Interpretação dos resultados da linearização:
  • Em y=0: f'(0)=8>0 y=0 é um ponto crítico instável (repulsor).
  • Em y=2: f'(2)=-4<0 y=2 é assintoticamente estável (atrator).
  • Em y=4: f'(4)=8>0 y=4 é instável (repulsor).
Vou reforçar essa classificação também examinando diretamente o sinal de f(y) em cada intervalo entre os pontos críticos (isso ajuda a desenhar o retrato de fase).

Passo 5

Análise do sinal de f(y)=y(2-y)(4-y)=y(y-2)(y-4) por intervalos (ordenando os pontos críticos: 0,2,4):
  • Para y<0: \,y<0,\;y-2<0,\;y-4<0. Produto de três negativos é negativo. Então f(y)<0 dy/dx<0 (soluções decrescem quando y<0).
  • Para 0<y<2: \,y>0,\;y-2<0,\;y-4<0. Produto +\times(-)\times(-)=+. Então f(y)>0 dy/dx>0 (soluções crescem).
  • Para 2<y<4: \,y>0,\;y-2>0,\;y-4<0. Produto +\times+\times(-)=-. Então f(y)<0 dy/dx<0 (soluções decrescem).
  • Para y>4: \,y>0,\;y-2>0,\;y-4>0. Produto positivo. Então f(y)>0 dy/dx>0 (soluções crescem).
Dessa análise obtemos a linha de fase unidimensional (eixo vertical y):
  • Flechas apontando para baixo em y<0.
  • Em y=0: à esquerda (abaixo) as soluções vão para baixo e à direita (acima) as soluções vão para cima — ou seja, ambas as direções se afastam de 0 → instável.
  • Em 0<y<2: setas para cima (movem-se em direção a y=2).
  • Em y=2: setas convergem de ambos os lados → assintoticamente estável.
  • Em 2<y<4: setas para baixo (movem-se também em direção a y=2).
  • Em y=4: setas se afastam de 4 de ambos os lados → instável.
  • Para y>4: setas para cima (crescimento).

Passo 6

Para ver globalmente o comportamento das curvas integrais no plano xy (e como elas se aproximam das retas horizontais de equilíbrio), é útil obter a solução implícita pela separação de variáveis. A EDO é separável:
\frac{dy}{y(y-2)(y-4)}=dx.
Faço decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B,C tais que
\frac{1}{y(y-2)(y-4)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-2}+\frac{C}{y-4}.
Multiplicando por y(y-2)(y-4) obtemos
1=A(y-2)(y-4)+B\,y(y-4)+C\,y(y-2).
Avalio em y=0,2,4 para achar as constantes:
  • Em y=0: 1=A(-2)(-4)=8A A=\dfrac{1}{8}.
  • Em y=2: 1=B\cdot 2\cdot(-2)=-4B B=-\dfrac{1}{4}.
  • Em y=4: 1=C\cdot 4\cdot 2=8C C=\dfrac{1}{8}.
Logo
\frac{1}{y(y-2)(y-4)}=\frac{1}{8}\,\frac{1}{y}-\frac{1}{4}\,\frac{1}{y-2}+\frac{1}{8}\,\frac{1}{y-4}.
Integro ambos os lados:
\int\!\left(\frac{1}{8}\frac{1}{y}-\frac{1}{4}\frac{1}{y-2}+\frac{1}{8}\frac{1}{y-4}\right)dy=\int dx.
Isso dá (em forma implícita)
\frac{1}{8}\ln|y|-\frac{1}{4}\ln|y-2|+\frac{1}{8}\ln|y-4|=x+C.
Multiplicando por 8 e combinando logaritmos,
\ln\left|\frac{y(y-4)}{(y-2)^{2}}\right|=8x+C',
onde C' é constante arbitrária. Assim a solução implícita geral é
\left|\frac{y(y-4)}{(y-2)^{2}}\right|=K e^{8x},\qquad K>0.

Passo 7

Interpretação da solução implícita para o retrato de fase e comportamento assintótico:
  • Retas horizontais y\equiv 0,2,4 aparecem como soluções particulares (tomando K=0 de forma apropriada).
  • Para condições iniciais com 0<y<2: o membro à esquerda tem denominador (y-2)^{2} pequeno quando y se aproxima de 2, o que permite que o módulo da fração fique grande quando y\to 2. Como o lado direito K e^{8x} cresce quando x\to+\infty, isso força y(x)\to 2 quando x\to+\infty. Já para x\to -\infty o lado direito tende a 0, o que força y\to 0. Portanto trajetórias com 0<y<2 crescem no sentido do eixo x e se aproximam de y=2 quando x\to+\infty; ao retroceder em x aproximam-se de y=0.
  • Para 2<y<4: comportamento simétrico no sentido de que as soluções decrescem e se aproximam de y=2 quando x\to+\infty; quando x\to -\infty aproximam-se de y=4.
  • Para y>4: y aumenta quando x aumenta. Para valores grandes de y a equação se comporta como dy/dx\approx y^{3}, o que implica crescimento muito rápido; a solução explode quando se vai em direção positiva de x (crescimento acelerado — em termos práticos sobressai que não há outro equilíbrio acima de 4). Similarmente para y<0 as soluções decrescem (tendendo a -\infty ao aumentar x).
Esses fatos confirmam as classificações obtidas pela linearização:
  • y=2 é atrator (assintoticamente estável) — as soluções nas faixas imediatamente acima e abaixo tendem para 2.
  • y=0 e y=4 são repulsores (instáveis).

Passo 8

Como esboçar à mão o retrato de fase e curvas integrais no plano xy (instruções práticas, passo a passo):
  1. Trace três retas horizontais: y=0, y=2 e y=4. Essas são as soluções de equilíbrio.
  2. Na linha de fase (um pequeno desenho vertical que representa valores de y), coloque setas:
    • Abaixo de 0: setas para baixo.
    • Entre 0 e 2: setas para cima.
    • Entre 2 e 4: setas para baixo.
    • Acima de 4: setas para cima.
      Isso ilustra que 0 e 4 são pontos de repulsão e 2 é um ponto de atração.
  3. No plano xy desenhe curvas integrais típicas (trajectórias y(x)):
    • Trajetórias com condição inicial y(x_{0})\in(0,2): curvas que começam perto de y=0 quando vai-se para a esquerda no eixo x, sobem monoticamente e se aproximam assintoticamente de y=2 à direita.
    • Com y(x_{0})\in(2,4): curvas que, vindo da direita, aproximam-se de y=4 quando x\to -\infty, descem e tendem a y=2 para x\to+\infty.
    • Com y(x_{0})>4: curvas que sobem (cada vez mais íngremes) para a direita; para a esquerda elas descem e aproximam-se de y=4.
    • Com y(x_{0})<0: curvas que descem ainda mais para a direita; para a esquerda aproximam-se de y=0.
  4. Todas as curvas são horizontais no sentido de que não cruzam as retas de equilíbrio: curvas não atravessam as linhas y=0,2,4 porque nessas linhas o lado direito é zero e as soluções constantes ficam isoladas; por isso as regiões separadas por essas retas contêm as trajetórias que permanecem naquela região para todo x.

Passo 9

Resumo intuitivo (motivacional): pense nas retas y=0,2,4 como “níveis” — entre 0 e 2 o sistema sobe até ficar preso em 2; entre 2 e 4 ele desce até ficar preso em 2; abaixo de 0 e acima de 4 o comportamento é de afastamento (decrescimento para baixo ou crescimento explosivo para cima). Assim y=2 é o ponto estável que “puxa” as trajetórias das duas bandas vizinhas, enquanto 0 e 4 “empurram” as trajetórias para longe.

Resposta

y=0 — instável.
y=2 — assintoticamente estável.
y=4 — instável.

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