Encontre os pontos na curva r=2 cos theta onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por $ r = 2 \cos \theta $ onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Isso está relacionado ao cálculo das derivadas e à geometria das curvas no plano polar. Vamos precisar entender como encontrar a inclinação da reta tangente em coordenadas polares e determinar quando ela é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por $ r $ (a distância ao origem) e $ \theta $ (o ângulo com o eixo positivo x). A curva $ r = 2 \cos \theta $ é conhecida como um círculo com raio 1 e centro no ponto $ (1, 0) $ no sistema cartesiano.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a inclinação dessa reta em qualquer ponto da curva. A inclinação da reta tangente em coordenadas polares é dada por:
dydx = drdtheta sin theta + r cos thetadrdtheta cos theta - r sin theta
Vamos começar calculando $ \frac{dr}{d\theta} $.

Passo 4

Dado $ r = 2 \cos \theta $, a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $ é:
r = 2 cos theta
Agora, substituímos $ r $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula da inclinação da reta tangente.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
dydx = (-2 sin theta) sin theta + 2 cos theta cos theta(-2 sin theta) cos theta - 2 cos theta sin theta = -2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta-2 sin theta cos theta - 2 sin theta cos theta
Simplificando:
dydx = 2(cos^2 theta - sin^2 theta)-4 sin theta cos theta = cos 2theta-2 sin 2theta

Passo 6

Agora, para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que $ \frac{dy}{dx} = 0 $. Isso acontece quando o numerador é zero:
dydx = 0
Resolvendo essa equação:
cos 2theta = 0
Os valores de $ \theta $ dentro de $ [0, 2\pi) $ são $ \frac{\pi}{4} $, $ \frac{3\pi}{4} $, $ \frac{5\pi}{4} $, e $ \frac{7\pi}{4} $.

Passo 7

Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos que o denominador $ -2 \sin 2\theta $ seja zero, ou seja:
-2 sin 2theta
Resolvendo:
sin 2theta = 0
Dentro de $ [0, 2\pi) $, temos $ \theta = 0 $, $ \frac{\pi}{2} $, $ \pi $, e $ \frac{3\pi}{2} $.

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas $ (r, \theta) $ para cada um desses valores de $ \theta $:
Para retas horizontais:
  • $ \theta = \frac{\pi}{4} $:
    (r, theta)
    Coordenadas: $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
  • $ \theta = \frac{3\pi}{4} $:
    theta
    Como $ r $ é negativo, o ponto equivalente é $ \left( \sqrt{2}, \frac{3\pi}{4} + \pi \right) = \left( \sqrt{2}, \frac{7\pi}{4} \right) $
Para retas verticais:
  • $ \theta = 0 $:
    theta = pi4
    Coordenadas: $ (2, 0) $
  • $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
    r = 2 cos ( pi4 ) = 2 cdot raiz22 = raiz2
    Coordenadas: $ (0, \frac{\pi}{2}) $ — que é o ponto na origem.
  • $ \theta = \pi $:
    ( raiz2, pi4 )
    Equivalente a $ (2, \pi) $ (já que $ r $ negativo inverte o ângulo).
  • $ \theta = \frac{3\pi}{2} $:
    theta = 3pi4
    Coordenadas: $ (0, \frac{3\pi}{2}) $ — novamente, o ponto na origem.

Resposta

Os pontos na curva $ r = 2 \cos \theta $ onde a reta tangente é horizontal são $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $ e $ \left( \sqrt{2}, \frac{7\pi}{4} \right) $. Os pontos onde a reta tangente é vertical são $ (2, 0) $, $ (2, \pi) $ e o ponto na origem $ (0, \frac{\pi}{2}) $ e $ (0, \frac{3\pi}{2}) $.

Exercícios relacionados