Encontre os pontos na curva
onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na curva definida por $ r = 2 \cos \theta $ onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Isso está relacionado ao cálculo das derivadas e à geometria das curvas no plano polar. Vamos precisar entender como encontrar a inclinação da reta tangente em coordenadas polares e determinar quando ela é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a posição de um ponto é dada por $ r $ (a distância ao origem) e $ \theta $ (o ângulo com o eixo positivo x). A curva $ r = 2 \cos \theta $ é conhecida como um círculo com raio 1 e centro no ponto $ (1, 0) $ no sistema cartesiano.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a inclinação dessa reta em qualquer ponto da curva. A inclinação da reta tangente em coordenadas polares é dada por:
Vamos começar calculando $ \frac{dr}{d\theta} $.
Passo 4
Dado $ r = 2 \cos \theta $, a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $ é:
Agora, substituímos $ r $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula da inclinação da reta tangente.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que $ \frac{dy}{dx} = 0 $. Isso acontece quando o numerador é zero:
Resolvendo essa equação:
Os valores de $ \theta $ dentro de $ [0, 2\pi) $ são $ \frac{\pi}{4} $, $ \frac{3\pi}{4} $, $ \frac{5\pi}{4} $, e $ \frac{7\pi}{4} $.
Passo 7
Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos que o denominador $ -2 \sin 2\theta $ seja zero, ou seja:
Resolvendo:
Dentro de $ [0, 2\pi) $, temos $ \theta = 0 $, $ \frac{\pi}{2} $, $ \pi $, e $ \frac{3\pi}{2} $.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas $ (r, \theta) $ para cada um desses valores de $ \theta $:
Para retas horizontais:
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$ \theta = \frac{\pi}{4} $:Coordenadas: $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
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$ \theta = \frac{3\pi}{4} $:Como $ r $ é negativo, o ponto equivalente é $ \left( \sqrt{2}, \frac{3\pi}{4} + \pi \right) = \left( \sqrt{2}, \frac{7\pi}{4} \right) $
Para retas verticais:
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$ \theta = 0 $:Coordenadas: $ (2, 0) $
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$ \theta = \frac{\pi}{2} $:Coordenadas: $ (0, \frac{\pi}{2}) $ — que é o ponto na origem.
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$ \theta = \pi $:Equivalente a $ (2, \pi) $ (já que $ r $ negativo inverte o ângulo).
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$ \theta = \frac{3\pi}{2} $:Coordenadas: $ (0, \frac{3\pi}{2}) $ — novamente, o ponto na origem.
Resposta
Os pontos na curva $ r = 2 \cos \theta $ onde a reta tangente é horizontal são $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $ e $ \left( \sqrt{2}, \frac{7\pi}{4} \right) $. Os pontos onde a reta tangente é vertical são $ (2, 0) $, $ (2, \pi) $ e o ponto na origem $ (0, \frac{\pi}{2}) $ e $ (0, \frac{3\pi}{2}) $.